点与圆位置关系的应用点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，这三种位置关系有下面的结论：设点，圆C：，则（1）点P在圆C外；（2）点P在圆C上；（3）点P在圆C内.利用以上结论，可以解决许多有关圆的问题。一、判断位置关系例1、已知圆C：，直线：（2m＋1）x＋（m＋1）y＝7m＋4（，证明不论m取什么实数，直线与圆C恒有两个交点。解析：若按常规思路需证明圆心C到直线的距离恒小于半径或把直线方程代入圆的方程判别式恒大于零，运算都较繁，但把直线的方程整理成（x＋y－4）＋m（2x＋y－7）＝0，后可发现是过直线x＋y－4＝0与直线2x＋y－7＝0的交点（3，1）的直线，很显然，即定点（3，1）在圆C的内部。所以，不论m为何实数值，直线与圆C恒有两个交点。二、求参数范围例2、a、b满足什么条件时，使得对于任意实数m，直线：y＝m（x－1）＋b恒与圆O：有两个交点。分析：本题虽然可以用“”法来解，但运算量大（两次使用判别式），而且容易忽视对二次不等式系数的讨论而造成漏解，如果利用直线过定点（1，b），并使该点在圆O的内部，便可得到最简解答。解：由题知直线：y－b＝m（x－1）过定点M（1，b），欲使与圆O恒有两个交点，须使点M在圆的内部，于是，当，即时，对于任意实数m，直线恒与圆O有两个交点。三、确定轨迹方程的完备性例3、已知直线：y＝k（x－a）及圆O：，直线与圆O相交于A、B两点，求当k变化时，弦AB的中点M的轨迹方程。分析：本题解法较多，充分利用几何图形的性质来解较简捷，但要注意变量范围的确定。解：设M的坐标为（x，y），已知直线恒过定点C（a，0）.因为，，所以，M在以OC为直径的圆上，所以，M的坐标满足，联立两圆方程可求得两圆交点的横坐标为，因为，M在圆O的内部，所以，用心爱心专心所以，M的轨迹方程为（）四、解决应用问题例4、有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回来，没公里的运费A地是B地的两倍。若A、B两地相距10公里，顾客选择A的或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，那么，不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？解析：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）。设A（－5，0），则B（5，0）.在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A运货到P的运费为2a元/km，则从B运到P的费用为a元/km.若P地居民选择在A地购买此商品，则整理得即点P在圆C：的内部，也就是说，圆C内的居民应在A地购物。同理可推得圆C外部的居民应在B地购物。圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物。用心爱心专心
