高考解答题专项练——函数与导数1
(2017浙江湖州改编)已知函数f(x)=lnx+1-xax,其中a为大于零的常数
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值
解(1)由题意,f'(x)=1x−1ax2=ax-1ax2,∵a为大于零的常数,∴若使函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则使ax-1≥0在区间[1,+∞)上恒成立,即a-1≥0,故a≥1;(2)当a≥1时,f'(x)>0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=0
当00,∴f(x)min=f(1a)=ln1a+1-1a,综上,f(x)在[1,2]上的最小值为①当00)
(1)解已知函数f(x)=1-e-xx(x>0),其导函数为f'(x)=1+x-exx2ex
令h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,当x0,所以h(x)min=h(0)=0,即ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立
由已知x>0,得ex>x+1,1+x-exx2ex-x2+1,所以g'(x)0时,有g(x)e-x2(x>0)
