高考数学大一轮复习 3.3导数的综合应用教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

§3.3导数的综合应用1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)连续函数在闭区间上必有最值．(√)(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(√)(3)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时取得最小值－1.(×)(4)函数f(x)＝x2lnx没有最值．(×)(5)已知x∈(0，)，则sinx>x.(×)(6)若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．(×)1．(2014·湖南改编)若0lnx2－lnx1；②－；④<.答案③解析设f(x)＝ex－lnx(0g(x2)，∴x2>x1.2．(2013·福建改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x∈R，f(x)≤f(x0)；②－x0是f(－x)的极小值点；③－x0是－f(x)的极小值点；④－x0是－f(－x)的极小值点．答案④解析①错，因为极大值未必是最大值．②错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点．③错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点．④对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________．答案解析MN的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx(x>0)的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.4．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为______百万件．答案3解析y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当00；当x>3时，y′<0.故当x＝3时，该商品的年利润最大.题型一利用导数证明不等式例1(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexlnx＋ex－ex－1＋ex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.(2)证明由(1)知，f(x)＝exlnx＋ex－1，x∈(0，＋∞)，从而f(x)>1等价于xlnx>xe－x－.设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx.所以当x∈(0，)时，g′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g()＝－.设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.所以g(x)≥－≥h(x)．又因为两等号无法同时取到，所以g(x)>h(x)综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.思维升华(1)证明f(x)>g(x)可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值．(2)对于F(x)＝f(x)－g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明(如本题中g(x)min＝h(x)max)．证明：当x∈[0,1]时，x≤sinx≤x.证明记F(x)＝sinx－x，则F′(x)＝cosx－.当x∈(0，)时，F′(x)>0，F(x)在[0，]上...