第70讲不等式的证明[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用柯西不等式证明不等式或求最值．1．已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.2．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc，①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c，②c2(a2＋b2)≥2abc2，③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.3．(2017·安徽联考)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．解析(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝由f(x)>－1，得或或解得0
0，所以a2－a＋1>，综上所述当0.4．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，＜.解析(1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，即－10，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；1(2)a＋b≤2.证明(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋b6＋a5b＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.6．(2018·东北三校二模)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)＋＋≤；(2)＋＋≥.证明(1)∵由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，∴＋＋≤.(2)∵由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]·≥2＝9，又a＋b＋c＝1，∴6≥9，∴＋＋≥.2
