课时分层作业(十九)直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.[解析]由l1∥l2，得＝＝，解得x＝12，y＝9.[答案]1292．设直线l1的方向向量为a＝(2，－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，则m＝________.[解析] l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0，∴m＝－.[答案]－3．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则l与α的位置关系是________．[解析]由题意知，因为a·b＝0，所以a⊥b，所以l在平面α内或l与平面平行．[答案]l在平面α内或l与平面平行4．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件AM·n＝0的点M的轨迹是________．[解析]AM·n＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．[答案]过点A且与向量n垂直的平面5．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是________.【导学号：71392190】[解析]因为|a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝±4，当x＝4时，a＝(2,4,4)，由a·b＝0，得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此时x＋y＝4－3＝1；当x＝－4时，a＝(2,4，－4)，由a·b＝0，得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此时x＋y＝－4＋1＝－3.综上，得x＋y＝－3或x＋y＝1.[答案]－3或16．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________．[解析]设单位法向量n0＝(x，y，z)，AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)．由n0·AB＝0，且n0·AC＝0得解得或[答案]或7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．[解析] A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，依题意，应有n·AB＝0，n·AC＝0，即解得令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．[答案](2,1,0)8．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若1PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为________.【导学号：71392191】[解析] A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，∴AB＝(－1，－1,1)，AC＝(2,0,1)，PA＝(－x,1，－z)． PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA·AB＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0，PA·AC＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0，∴∴∴点P的坐标为.[答案]二、解答题9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明：DB1是平面A1BC1的法向量．[证明]建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是DB1＝(1,1,1)，BA1＝(0，－1,1)，BC1＝(－1,0,1)，由于DB1·BA1＝－1＋1＝0，DB1·BC1＝－1＋1＝0.∴DB1⊥BA1，DB1⊥BC1， BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面A1BC1，即DB1是平面A1BC1的法向量．10．已知ABCDA1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系如图325.AB＝3，BC＝4，AA1＝2，图325(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式.【导学号：71392192】[解](1)在题图所示的空间直角坐标系Axyz中各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得B1C＝(0,4，－2)，CD1＝(－3,0,2)，设平面B1CD1的一个法向量为a＝(x，y，z)，则a⊥B1C，a⊥CD1，从而a·B1C＝0，a·CD1＝0，所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，解方程组得不妨取z＝6，则y＝3，x＝4.所以a＝(4,3,6)就是平面B1CD1的一个法向量．(2)由题意可得，B1M＝(x－3，y，z－2)，因为a＝(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，2所以a⊥B1M，从而a·B1M＝0，即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，所以满足题意的关系式是4x＋3y＋6z＝24.[能力提升练]1．若不重合的两个平面的法向量分别是a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．[解析] a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，∴a＝－3b，a∥b.∴这两个平面平行．[答案]平行2．已知平面α内有一个点A(－1,1,0)，α的一个法向量为n＝(－1,1,1)，则下列各点中，在平面α内的是________(填序号)．①(1,3,2)；②(0,0...
