坐标系与参数方程1．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是()A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2解析先将极坐标化成直角坐标表示，化为(0，2)，过(0，2)且平行于x轴的直线为y＝2，再化成极坐标表示，即ρsinθ＝2.故选D.答案D2．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．解析依题意知，ρ＝2，θ＝－.答案3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是(α为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________．答案212．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．解析依题意知，点M的直角坐标是(2，2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.答案213．在平面直角坐标系下，曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是________．解析曲线C1的直角坐标方程为x＋2y－2a＝0，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2，若曲线C1，C2有公共点，则有圆心到直线的距离≤2，即|a－1|≤，∴1－≤a≤1＋，即实数a的取值范围是[1－，1＋]．答案[1－，1＋]14．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．15．已知点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．解析消去参数θ得曲线的标准方程为(x＋2)2＋y2＝1，圆心为(－2，0)，半径为1.设＝k，则直线y＝kx，即kx－y＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，即|2k|＝，平方得4k2＝k2＋1，k2＝，解得k＝±，由图形知k的取值范围是－≤k≤，即的取值范围是.答案16．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(θ为参数)．(1)将C1的方程化为普通方程；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交点的极坐标．解(1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)设C1的圆心为A，∵原点O在圆上，设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C，∵直线OB倾斜角为，OA＝2，∴OC＝1，从而OB＝2，∴O，B的极坐标分别为O(0，0)，B.17．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．18．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解(1)y2＝2ax，y＝x－2.(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝2ax，得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，即a2＋3a－4＝0.解得a＝1或a＝－4(舍去)．19．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin＝t(t为参数)．(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．解(1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝2cos2α＋2sinαcosα＋1，所以曲线M可化为y＝x2－1，x∈[－2,2]，由ρsin＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立得x2＋x－1－t＝0，由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－.即|OP||OQ|的取值范围是[2,3]．
