高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 第二课时 综合法与分析法练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

第二课时综合法与分析法[基础达标]1.给出下列四个命题：①若a＞b＞0，则＞；②若a＞b＞0，则a－＞b－；③若a＞b＞0，则＞；④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.其中正确的命题是A.①②B.②C.②③D.③④解析①a>b>0，则<，故①错；②a>b>0，则<，故②对；③中－＝＝<0，故③错；④因为a－b不能确定为正数，故④错.答案B2.当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，3]解析要使x＋≥a恒成立，只需f(x)＝x＋的最小值大于等于a即可，而x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(当且仅当x＝2时，等号成立).∴f(x)的最小值为3，∴a≤3.答案D3.设a，b∈(0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A0.又A>0，B>0，∴A>B.答案C4.已知a>0，b>0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的顺序排列为________.解析由已知得P＝，Q＝，＝＝，即R＝，显然P≥Q，又≤＝，所以Q≥R，所以P≥Q≥R.答案P≥Q≥R5.已知a，b，c都是正数，求证：2≤3.证明要证2≤3，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即－2≤c－3，即c＋2≥3，由a，b，c为正数，有c＋2＝c＋＋≥3成立.故原不等式成立.[能力提升]11.设a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小关系是A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a答案B2.如果不等式|b－a|＜1成立的充分而非必要条件是＜b＜，则实数a的取值范围是A.＜a＜B.≤a≤C.a＜或a＞D.a≤或a≥答案B3.已知a、b∈R，则a＋b>2，ab>1是a>1，b>1的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B4.若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是A.a2＋b2＋c2≥2B.(a＋b＋c)2≥3C.＋＋≥2D.abc(a＋b＋c)≤解析因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3.故选项B成立.答案B5.已知a、b、c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列各式中，一定正确的是A.ab≥cB.ac≥bC.ab≤cD.bc≥a答案A6.已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则A.S≥2PB.PPD.P≤S<2P解析∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，即S≥P.又三角形中|a－b|0，b>0，m＝＋，n＝＋，p＝，则m、n、p的大小顺序是________.答案m≥n>p8.已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________.解析∵－≤xy≤，∴(x2＋y2)≤x2＋xy＋y2≤(x2＋y2).又1≤x2＋y2≤2，∴≤z≤3.答案9.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若∠C＝90°，则的取值范围是________.解析由题意知c2＝a2＋b2≥2ab，即≤.∴＝＝≤.(当且仅当a＝b时取等号).又三角形中a＋b＞c.∴1＜≤.答案(1，]10.已知a>b>c，求证：＋≥.证明∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.设a－b＝x，b－c＝y，则a－c＝x＋y，原式转化为证明＋≥，即证(x＋y)≥4，即证2＋＋≥4，此不等式成立(当且仅当x＝y，即2b＝a＋c时取等号).∴原不等式成立.11.若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，求证：＜.证明∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.要证＜，只要证＜a.也就是证(a＋c)2－ac＜3a2，即证(a－c)(2a＋c)＞0.∵a－c＞0，2a＋c＝(a＋c)＋a＝－b＋a＞0.∴(a－c)(2a＋c)＞0成立.∴原不等式成立.12.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.3(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.4