高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评1（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP免费

第四章圆与方程[自我校对]①(x－a)2＋(y－b)2＝r2②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)③|O1O2|＞r1＋r2④|O1O2|＝r1＋r2⑤|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2(教师用书独具)求圆的方程求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.【精彩点拨】解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．【规范解答】法一：设所求圆为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，化为一般式，得x2＋y2－x＋y－＝0.故圆心坐标为，代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－.再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.法二：解方程组得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上，∴解得∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.[再练一题]1．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．【解】设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.又圆心在直线5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8.由得由得所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．【精彩点拨】分斜率存在与不存在两种情况：(1)⇒⇒⇒⇒(2)⇒【规范解答】(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图，作MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝，|MB|＝2，故|MC|＝＝1，由点到直线的距离公式得＝1，解得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝2，所以符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.[再练一题]2．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．【解】设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)与Q(3，－)的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为.由题意得解得或∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.轨迹问题1.求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等．2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．如图41，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图41【精彩点拨】由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|＝|PN|求出P点的轨迹方程．【规范解答】如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段|O1O2|的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)．在Rt△PMO1中，|PM|2＝|PO1|2－1，在Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1.又因为|PM|＝|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2，...