课时跟踪训练(二十五)空间的角的计算1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________．2．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．3．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，则二面角A－PB－C的余弦值为________．4．(大纲全国卷改编)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．6.如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．7．(江西高考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．8.如图，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中点，EA＝DA＝AB＝2CB.(1)求证：DM⊥EB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角M－BD－A的余弦值．1答案1．解析：AB�＝(2，－2，－1)，CD�＝(－2，－3，－3)，∴cos〈AB�，CD�〉＝＝＝.∴直线AB，CD所成角的余弦值为.答案：2．解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.∴AM�＝，CN�＝，∴cos〈AM�，CN�〉＝＝，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案：3．解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，AP�＝(0,0,1)，AB�＝(，1,0)，CB�＝(，0,0)，CP�＝(0，－1，1)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则⇒⇒令x＝1，则m＝(1，－，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则⇒⇒令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)，∴cos〈m，n〉＝＝.答案：4.解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC�＝(0,1,0)，DB�＝(1,1,0)，1DC�＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB�，n⊥1DC�，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC�〉|＝＝.答案：5.解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建2立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)．所以1AD�＝(－1,0,1)，AE�＝.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝.答案：6．解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)．∴BD�＝(0,2,1)，DF�＝(1，－2,0)，BA�＝(2,0,0)．设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)， n⊥DF�，n⊥BD�，∴即解得a＝1，b＝－2.∴n＝(2,1，－2)．又设AB与平面BDF所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.即AB与平面BDF所成角的正弦值为.7．解：(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD.因为PG＝GD，所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，3故BC�＝，CP�＝，CD�＝.设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，则解得即n1＝.设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，则解得即n2＝(1，，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝.8．解：以直线AE、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，设CB＝a，则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M(a，a，)，(1)证明：DM�＝(a，a，－)，EB�＝(－2a,2a,0)，∴DM�·EB�＝a·(－2a)＋a·2a＋0＝0，∴DM�⊥E...
