高考数学一轮复习 课后限时集训26 平面向量的数量积与平面向量应用举例 理（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课后限时集训(二十六)平面向量的数量积与平面向量应用举例(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2018·陕西二模)已知向量a＝(2,3)，b＝(x,4)．若a⊥(a－b)，则x＝()A．1B．C．2D．3B[由题意，得a－b＝(2－x，－1)．因为a⊥(a－b)，所以2×(2－x)＋3×(－1)＝0，解得x＝，故选B．]2．已知向量a＝(x2，x＋2)，b＝(－，－1)，c＝(1，)，若a∥b，则a与c夹角为()A.B．C.D．A[cos〈b，c〉＝＝＝－，又由x2≥0且a∥b得a，b是反向共线，则cos〈a，c〉＝－cos〈b，c〉＝，〈a，c〉∈[0，π]，则〈a，c〉＝，故选A.]3．(2019·西宁模拟)如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算AB·AD＝()A．10B．11C．12D．13B[以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，AB＝(4,1)，AD＝BC＝(2,3)，∴AB·AD＝4×2＋1×3＝11，故选B．]4．(2019·银川模拟)在正方形ABCD中，点E为BC的中点，若点F满足AF＝λAC，且AE·BF＝0，则λ＝()A.B．C.D．A[以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形ABCD的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(2,1)，由于AF＝λAC，则点F在直线AC上，设F(a，a)，那么AE·BF＝(2,1)·(a－2，a)＝3a－4＝0，解得a＝，结合AF＝λAC，可得＝2λ，解得λ＝，故选A.]5．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为()A．－2B．－C．－1D．0B[因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨设a＝(1,0)，b＝，c＝(cosθ，sinθ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cosθ＋2－1＝sinθ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值为－，故选B．]二、填空题6．(2019·青岛模拟)已知向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，则向量a在向量b上的投影为________．－1[设向量a，b的夹角为θ，则|a＋b|2＝|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝|a|2＋10|a|cosθ＋25＝16，|a－b|2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝|a|2－10|a|cosθ＋25＝36，两式相减整理得|a|cosθ＝－1，即向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝－1.]7．(2018·南昌一模)平面向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝________.±2[由题意可得a＋b≠0，则2|a|＝|b|，即4(1＋m2)＝16＋m2，解得m2＝4，m＝±2.]8．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n与tm－n夹角为钝角，则实数t的取值范围是________．(－∞，0)∪(0,4)[ n与(tm－n)夹角为钝角，∴n·(tm－n)＜0且n与(tm－n)不共线．∴又m·n＝|m||n|cos〈m，n〉＝n2×＝n2.即n2－n2＜0且t≠0，∴t＜4且t≠0.]三、解答题9．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解](1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.10．已知|a|＝2，|b|＝1.(1)若a⊥b，求(2a－b)·(a＋b)的值；(2)若不等式|a＋xb|≥|a＋b|对一切实数x恒成立，求a与b夹角的大小．[解](1) a⊥b，∴a·b＝0，∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝7.(2)设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ＝2cosθ.不等式|a＋xb|≥|a＋b|两边平方可得：a2＋2a·bx＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2，即：4＋4xcosθ＋x2≥4＋4cosθ＋1.整理得：x2＋4xcosθ－4cosθ－1≥0.(*)因为不等式对一切实数x恒成立，则Δ＝16cos2θ＋4(4cosθ＋1)＝4(4cos2θ＋4cosθ＋1)＝4(2cosθ＋1)2≤0，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.B组能力提升1．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B．C.D．A[由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥B．将|a－b|＝2|b|两...