2017高考数学一轮复习第七章不等式7.4.2基本不等式的综合应用对点训练理1.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为________．答案解析以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C，D.又BE＝λBC，DF＝DC，则E，F，λ>0，所以AE·AF＝＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，λ>0，当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，故AE·AF的最小值为.2．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案160解析设池底长xm，宽ym，则xy＝4，所以y＝，则总造价为：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x＝20＋80，x∈(0，＋∞)．所以f(x)≥20×2＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．3．在△ABC中，已知AB·AC＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP＝x·＋y·，则xy的最大值为________．答案3解析由AB·AC＝9，得bccosA＝9.由sinB＝cosAsinC，得b＝ccosA.由S△ABC＝6，得bcsinA＝6，由上述三式可解得b＝3，c＝5，cosA＝，sinA＝，由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×＝16，a＝4，可见△ABC是直角三角形，以C为坐标原点，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则CA＝(3,0)，CB＝(0,4)，＝(1,0)，＝(0,1)，则CP＝x·＋y·＝x(1,0)＋y(0,1)＝(x，y)，又P在直线AB上，故有＋＝1(x>0，y>0)．∵1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时等号成立．4．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．1(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80000＝－(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．2
