6.3.2两点间的距离、中点坐标公式及向量平行一、选择题1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案：C2．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.B.C．1D．2解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝，故选A.答案：A3．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)解析：设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC.因为AB＝－(1，－3)＝，AC＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.答案：C4．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(2m，m＋1)，若AB∥OC，则实数m的值为()A.B．－C．3D．－3解析：向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，∴AB＝(3,1)，∵OC＝(2m，m＋1)，AB∥OC，∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，故选D.答案：D二、填空题5．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，求|2a－b|＝________.解析：由a＝(1,2)得2a＝(2,4)，∴2a－b＝(3,3)，∴|2a－b|＝3.答案：36．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，所以OC＝－BA，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为AB＋BC＝AC≠CA，所以②错误；③因为OA＋OC＝(0,2)＝OB，所以③正确；④因为AC＝(－4,0)，OB－2OA＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．答案：①③④7．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b与c共线，则实数λ＝________.解析：因为a＋b＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a＋b与c共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝.答案：三、解答题8．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b.∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a与b共线且方向相同；当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反．∴x＝2.9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)．∵AE＝AC，∴AE＝，∵BF＝BC，∴BF＝.∵AE＝(x1＋1，y1)＝，∴E，∵BF＝(x2－3，y2＋1)＝，∴F，∴EF＝.又∵4×－×(－1)＝0，∴EF∥AB.[尖子生题库]10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.(2)因为A，B，C三点共线，所以AB＝λBC，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以解得m＝.
