【课时训练】平面向量的数量积一、选择题1．(2018北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0【答案】D【解析】由a·b＝0可求得x＝0.2．(2018杭州模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝()A．2B．2C．4D．12【答案】B【解析】 |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|·cos60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，∴|a＋b|＝2.3．(2018山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为()A．－B．－C．D．【答案】D【解析】 a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝.4．(2018北京昌平第二次统考)如图，在△ABC中，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】若|AB＋AC|＝|AB－AC|，则AB2＋AC2＋2AB·AC＝AB2＋AC2－2AB·AC，即有AB·AC＝0.E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝(AC＋CE)·(AB＋BF)＝·＝·＝AC2＋AB2＋AB·AC＝×(1＋4)＋0＝.故选B.5．(2018驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，所以CB·(AB＋AC)＝0.因为AB－AC＝CB，1所以(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|.所以△ABC是等腰三角形．故选C.6．(2018南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则AD·BE＝()A．－B．C．－D．【答案】A【解析】由等边三角形的性质，得|AD|＝|BE|＝，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝|AD|·|BE|cos〈AD，BE〉＝××＝－.故选A.7．(2018陕西宝鸡三模)若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝0，则CA在CB方向上的投影为()A．4B．C．D．1【答案】C【解析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量的加法的几何意义，得AB＋AC＝2AD.又由条件，得AB＋AC＝－OA＝AO，所以2AD＝AO，即4AD＝AO.所以A，O，D共线．所以OA⊥BC.所以CD为CA在CB方向上的投影．因为|AO|＝|CO|＝4，所以|OD|＝3.所以|CD|＝＝.二、填空题8．(2018德州模拟)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)的值为________．【答案】－4【解析】由题意，得AP＝2，PM＝1，所以PA·(PB＋PC)＝PA·2PM＝2×2×1×cos180°＝－4.9．(2018烟台模拟)已知O是边长为1的正三角形ABC的中心，则(OA＋OB)·(OA＋OC)＝________.【答案】－【解析】由题意知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，且OA＝OB＝OC＝，所以OB·OC＝OA·OB＝OA·OC＝×cos120°＝－.故(OA＋OB)·(OA＋OC)＝OA2＋OA·OC＋OB·OA＋OB·OC＝－.10．(2018荆州二检)在△ABC中，AB·BC＝3，△ABC的面积S∈，则AB与BC夹角的取值范围是________．【答案】【解析】由三角形面积公式及已知条件，知≤S△ABC＝AB·BCsinB≤，所以≤AB·BCsinB≤3.①由AB·BC＝3，知AB·BCcos(π－B)＝3，所以AB·BC＝－.代入①，得≤－≤3，所以－1≤tanB≤－.所以≤B≤.而AB与BC的夹角为π－B，其取值范围为.11．(2018江西白鹭洲中学期末)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则CP·CB＋CP·CA＝________.2【答案】4【解析】由题意可建立如图所示的坐标系，可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CP·CB＋CP·CA＝CP·(CB＋CA)＝2CP2＝4.12．(2018安徽黄山二模)在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．【答案】垂心【解析】 OA·OB＝OB·OC，∴OB·(OA－OC)＝0.∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．13．(2019武汉调研)如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则MC·ND＝________.【答案】26【解析】解法一：因为MC·ND＝(MO＋OC)·(NO＋OD)＝MO·NO＋MO·OD＋OC·NO＋...
