中档题保分练(二)1．(2018·临沂模拟)在△ABC中，已知B＝，AC＝，cosC＝.(1)求BC；(2)设D是AB边中点，求CD.解析：(1)∵cosC＝且0＜C＜π，∴sinC＝.∵A＋B＋C＝π，B＝，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.在△ABC中，由正弦定理得：＝，∴BC＝＝3.(2)∵D为AB边中点，∴CD＝(CA＋CB)，∴|CD|2＝(CA＋CB)2＝13，即CD＝.2．(2018·惠州模拟)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为底AB，CD上的点，且EF⊥AB，EF＝EB＝FC＝2，EA＝FD，沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF.(1)求证：平面BCD⊥平面BDF；(2)若AE＝2，求多面体ABCDEF的体积．解析：(1)证明：由平面AEFD⊥平面EBCF，且DF⊥EF知DF⊥平面EBCF.而DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面EBCF又BC⊥BF，BC⊂平面EBCF，所以BC⊥平面BDF.而BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面BDF.(2)依题意知，多面体ABCDEF是三棱台ABEDCF，易得高为EF＝2，两个底面面积分别是2和8，体积为×(2＋8＋)＝.3．(2018·桂林模拟)共享单车已成为一种时髦的新型环保交通工具，某共享单车公司为了拓展市场，对A，B两个品牌的共享单车在编号分别为1,2,3,4,5的五个城市的用户人数(单位：十万)进行统计，得到数据如下：城市品牌12345A品牌341268B品牌43795(1)若共享单车用户人数超过50万的城市称为“优城”，否则称为“非优城”，据此判断能否有85%的把握认为“优城”和共享单车品牌有关？(2)若不考虑其他因素，为了拓展市场，对A品牌要从这五个城市选择三个城市进行宣传，(ⅰ)求城市2被选中的概率；(ⅱ)求在城市2被选中的条件下城市3也被选中的概率．附：参考公式及数据P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝解析：(1)根据题意列出2×2列联表如下：城市品牌优城非优城合计A品牌个数325B品牌个数235合计5510K2＝＝0.4＜2.072，所以没有85%的把握认为“优城”与共享单车品牌有关．(2)从这五个城市选择三个城市的情形为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种，(ⅰ)城市2被选中的有6种，所求概率为0.6.(ⅱ)在城市2被选中的有6种情形中，城市3被选中的有3种，所求概率为0.5.4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ＝2asinθ，直线l的参数方程是(t为参数)．(1)若a＝2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；(2)若直线l被圆C截得的弦长为2，求a的值．解析：(1)由ρ2＝4ρsinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，将直线l的参数方程化为普通方程，得y＝－(x－2)，令y＝0，得x＝2，即点M的坐标为(2,0)．又圆C的圆心坐标为(0,2)，半径r＝2，则|MC|＝2，所以|MN|的最大值为|MC|＋r＝2＋2.(2)因为圆C：x2＋(y－a)2＝a2，直线l：4x＋3y－4a＝0，所以圆心C到直线l的距离d＝＝，所以2＝2，即|a|＝2，解得a＝±.(选修4－5：不等式选讲)(2018·济南模拟)设a、b、c均为正数并满足a＋b＋c＝3.(1)证明：ab＋bc＋ca≤3；(2)求＋＋的最大值．解析：(1)证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，相加可得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.又9＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)，所以ab＋bc＋ac≤3.(2)由柯西不等式得[12＋()2＋()2][()2＋()2＋()2]≥(＋＋)2，即(＋＋)2≤(1＋2＋3)(a＋b＋1＋c＋1)＝30，所以＋＋≤，当a∶1＝(b＋1)∶2＝(c＋1)∶3时等号成立，解得：a＝，b＝，c＝，所以＋＋的最大值为.
