第1节数列的概念与简单表示法【选题明细表】知识点、方法题号观察法求通项公式1,7递推公式的应用2,3,6,10an与Sn的关系5,8,12数列的单调性、最值4,11综合问题9,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·山西二模)现在有这么一列数:2,,,,,,,…,按照规律,横线中的数应为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得,分子为连续的质数,分母依次为2n-1,故横线上的数应该为.故选B.2.在数列{an}中,a1=,an+1=1-,则a5等于(C)(A)2(B)3(C)-1(D)解析:由题意可得a2=1-2=-1,a3=1+1=2,a4=1-=,a5=1-2=-1,故选C.3.(2017·湖南永州三模)已知数列{an}满足a1=1,an+1an+Sn=5,则a2等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:因为a1=1,an+1an+Sn=5,所以a2·a1+a1=5,即a2+1=5,解得a2=4.故选C.4.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(D)(A)(B)(C)4(D)0解析:因为an=-3(n-)2+,由二次函数性质得,当n=2或3时,an最大,此时an=0.故选D.5.(2017·湖南岳阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2017等于(B)(A)2016(B)2017(C)4032(D)4034解析:因为a1=1,Sn=,1所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,可化为=,所以==…==1,所以an=n,则a2017=2017.故选B.6.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2017等于(D)(A)8(B)6(C)4(D)2解析:由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2017=a335×6+7=a7=2.故选D.7.已知数列{an}:2,-6,12,-20,30,-42,….写出该数列的一个通项公式:.解析:根据题意,a1=(-1)2×1×2=2,a2=(-1)3×2×3=-6,a3=(-1)4×3×4=12,…归纳可得an=(-1)n+1×n×(n+1)=(-1)n+1×n·(n+1).答案:an=(-1)n+1×n·(n+1)8.(2017·渭南一模)如果数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则此数列的通项公式an=.解析:当n≥2时an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,整理得an=2an-1,又因为当n=1时,a1=S1=2a1-1,即a1=1,所以数列{an}构成以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=1·2n-1=2n-1.答案:2n-1能力提升(时间:15分钟)9.(2017·河北保定二模)已知数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=an,则的最大值为(C)(A)-3(B)-1(C)3(D)1解析:因为Sn=an,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,化为==1+,由于数列()单调递减,2可得n=2时,取得最大值2.所以的最大值为3.故选C.10.若数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则该数列的前2017项的乘积是(C)(A)-2(B)-3(C)2(D)-解析:因为数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),所以a2==-3,同理可得a3=-,a4=,a5=2,….所以an+4=an且a1a2a3a4=1.所以该数列的前2017项的乘积为1504×a1=2.故选C.11.(2017·湖南永州二模)已知数列{an}的前n项和Sn=3n(λ-n)-6,若数列{an}单调递减,则λ的取值范围是(A)(A)(-∞,2)(B)(-∞,3)(C)(-∞,4)(D)(-∞,5)解析:因为Sn=3n(λ-n)-6,①所以Sn-1=3n-1(λ-n+1)-6,n>1,②①-②得数列{an}:an=3n-1(2λ-2n-1)(n>1,n∈N*)为单调递减数列,所以an>an+1,且a1>a2,又a1=S1=3(λ-1)-6=3λ-9,a2=6λ-15,所以3n-1(2λ-2n-1)>3n(2λ-2n-3),且λ<2,化为λ1),且λ<2,所以λ<2,所以λ的取值范围是(-∞,2).故选A.12.(2017·江西鹰潭二模)数列{an}的前n项和是Sn,a1=1,2Sn=an+1(n∈N+),则an=.解析:因为a1=1,2Sn=an+1(n∈N+),①所以当n≥2时,2Sn-1=an,②①-②得2an=an+1-an,所以=3(n≥2),又a2=2S1=2a1=2,3所以数列{an}从第二项起,是以2为首项,3为公比的等比数列,即an=2·3n-2(n≥2),所以an=答案:13.根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.(1)a1=1,an+1=3an+2;(2)a1=1,an+1=(n+1)an;(3)a1=2,an+1=an+ln(1+).解:(1)因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以=3,所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,首项a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1.(2)因为an+1=(n+1)an,所以=n+1,所以=n,=n-1,…=3,=2,a1=1.累乘可得an=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!.故an=n!.(3)因为an+1=an+ln(1+),所以an+1-an=ln(1+)=ln,所以an-an-1=ln,an-1-an-2=ln,…a2-a1=ln,累加可得an-a1=ln+ln+…+ln=lnn.又a1=2,所以an=lnn+2.14.(2017·贵州模拟)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式.4解:(1)由数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,所以a2-2×1=4,解得a2=6.2a3-3×6=2×22+2×2,解得a3=15.(2)因为nan+1-(n+1)an=2n2+2n,所以-=2,又因为=1,所以数列{}是等差数列,首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1,解得an=2n2-n.5
