3.3.3函数的最大（小）值与导数基础练习1．函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．【答案】A2．已知函数f(x)＝x－elnx，则f(x)的最小值为()A．0B．eC．－1D．1【答案】A3．函数f(x)＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为()A．0B．C．D．【答案】B4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值为()A．2B．－4C．4D．－2【答案】C5．(2019年河北张家口期末)已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.【答案】－【解析】y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上知a＝－.6．函数y＝在区间上的最小值是________．【答案】e【解析】函数y＝的导函数为y′＝.令y′＝0，可得x＝1.所以当x∈时，y′＜0，函数是减函数；当x∈(1，e]时，y′＞0，函数是增函数．所以函数在x＝1取得极小值也是最小值f(1)＝e.7．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)当f′(1)＝3时，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而[f(x)]max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，1从而[f(x)]max＝f(0)＝0.当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而[f(x)]max＝综上所述，[f(x)]max＝8．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值是20，求它在该区间上的最小值．解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3.∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在(－1,2)上单调递增．又由于f(x)在(－2，－1)上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.能力提升9.在区间上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝2x＋在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是()A．B．C．8D．4【答案】D【解析】g′(x)＝2－，当x＜1时，g′(x)＜0，当x＞1时，g′(x)＞0，故函数g(x)在x＝1处取得最小值，g(1)＝3.∴对于函数f(x)，当x＝1时，函数有最小值3，∴解得p＝－2，q＝4.∴f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3.∴函数f(x)的对称轴为x＝1，开口向上．∴在区间上，函数f(x)的最大值为f(2)＝4.故选D．10．已知函数f(x)＝x4cosx＋mx2＋x(m∈R)，若导函数f′(x)在区间[－2,2]上有最大值12，则导函数f′(x)在区间[－2,2]上的最小值为()A．－12B．－10C．－8D．－6【答案】B【解析】由已知得f′(x)＝4x3cosx－x4sinx＋2mx＋1.令g(x)＝4x3cosx－x4sinx＋2mx，则g(x)是奇函数．由f′(x)的最大值为12，知g(x)的最大值为11，最小值为－11，从而f′(x)的最小值为－11＋1＝－10.11．若不等式2y2－x2≥c(x2－xy)对任意满足x>y>0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为________．【答案】2－4【解析】由x>y>0,2y2－x2≥c(x2－xy)得c≤，即c≤.设t＝，则t>1.令g(t)＝＝＝－1＋，g′(t)＝＝.当1
2＋时，g′(t)>0.所以g(t)min＝g(2＋)＝2－4，2则c≤2－4，即实数c的最大值为2－4.12．(2019年湖北孝感模拟)已知函数f(x)＝lnx＋.(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．解：(1)f(x)＝lnx＋的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝.∵a<0，∴f′(x)>0.故f(x)在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a≤1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，与f(x)在[1，e]上的最小值是矛盾．②当10，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1.由lna＋1＝，得a＝.③当a≥e时，显然f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是矛盾．综上，a的值为.3
