3.1.2空间向量的基本定理[A基础达标]1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量解析：选A．因为2a－b可用a，b线性表示，所以2a－b与a，b一定共面．2．设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则()A．P∈ABB．P∉ABC．点P不一定在直线AB上D．以上都不对解析：选A．由共线向量定理知，P，A，B三点共线，故A正确．3．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，O′是上底面的中心，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则AO′＝()A．a＋b＋cB．a＋b＋cC．a＋b＋cD．a＋b＋c解析：选B．如图，连接A′C′，则AO′＝AA′＋A′O′＝AA′＋A′C′＝a＋b＋c.4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A．OM＝3OA－2OB－OCB．OM＋OA＋OB＋OC＝0C．MA＋MB＋MC＝0D．OM＝OB－OA＋OC解析：选C．因为MA＋MB＋MC＝0，所以MA＝－MB－MC，所以M与A，B，C必共面．5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF＝AD＋mAB－nAA1，则m，n的值分别为()A．，－B．－，－C．－，D．，解析：选A．由于AF＝AD＋DF＝AD＋(DC＋DD1)＝AD＋AB＋AA1，所以m＝，n＝－，故选A．6．非零空间向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________．解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，1则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以所以k＝±1.答案：±17．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{AB，AC，AD}为基底，则GE＝________．解析：因为BE＝3ED，所以BE＝BD＝(AD－AB)，AG＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，所以GE＝AE－AG＝AB＋BE－AG＝AB＋(AD－AB)－(AB＋AC)＝－AB＋AD－AC.答案：－AB＋AD－AC8．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得答案：1－19．已知空间的一个基底{a，b，c}，p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p、m、n是否共面？解：假设p、m、n共面，因m与n不共线，故存在有序实数对(x，y)满足p＝xm＋yn，则3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因为a、b、c不共面，所以而此方程组无解，所以p不能用m、n表示，即p、m、n不共面．10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，且A1F＝FC.求证：E，F，B三点共线．证明：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.因为A1E＝2ED1，A1F＝FC，所以A1E＝A1D1，A1F＝A1C.所以A1E＝AD＝b，A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c.所以EF＝A1F－A1E＝a－b－c＝(a－b－c)．又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，所以EF＝EB.所以E，F，B三点共线．[B能力提升]11．如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝2DD1.若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝()A．－1B．0C．D．1解析：选C．因为EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.12．正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________．解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF\s\do3(==)A1D，所以EF＝A1D，所以A1D＋λA1D＝0，所以λ＝－.答案：－13．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC成定比2，N为PD的中点，求满足MN＝xAB＋yAD＋zAP的实数x，y，z的值．解：法一：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则MN＝EN－EM.因为EN＝CD＝BA＝－AB.EM＝PM－PE＝PC－PC＝PC.连接AC，则PC＝AC－AP＝AB＋AD－AP，所以MN＝－AB－(AB＋AD－AP)＝－AB－AD＋AP，因为AB，AD，AP不共面．所以x＝－，y＝－，z＝.法二：MN＝PN－PM＝PD－PC＝(PA＋AD)－(PA＋AC)＝－AP＋AD－(－AP＋AB＋AD)＝－AB－AD＋AP，因为AB、AD、AP不共面，3所以x＝－，y＝－，z＝.14．(选做题)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值．解：连接BG(图略)．因为AB＝PB－PA，AB＝DC，所以DC＝PB－PA，因为PC＝PD＋DC，所以PC＝PD＋PB－PA＝－PA＋PB＋PD.因为＝，所以PH＝PC，所以PH＝(－PA＋PB＋PD)＝－PA＋PB＋PD.又因为AH＝PH－PA，所以AH＝－PA＋PB＋PD，因为＝m，所以AG＝mAH＝－PA＋PB＋PD，因为BG＝－AB＋AG＝PA－PB＋AG，所以BG＝PA＋PB＋PD.又因为G，B，P，D四点共面，所以1－＝0，m＝.即m的值是.4
