课时08函数的性质模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．已知函数则函数f(x)的奇偶性为()A．既是奇函数又是偶函数B.既不是奇函数又不是偶函数C．是奇函数不是偶函数D.是偶函数不是奇函数【答案】C【解析】画出函数图象关于原点对称，故是奇函数不是偶函数2．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数是()A．2B．3C．4D．5【答案】D3．若函数为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又，则的解集为()A．(－2,0)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(2，＋∞)【答案】A【解析】因为函数为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，，所以或时，；或时，.，即，可知或.【规律总结】根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可.4.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由函数为偶函数且在上单调递增，可得即，解得.5．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝()A．13B．2C.D.【答案】C6．已知函数f(x)＝x2＋(m＋2)x＋3是偶函数，则m＝________.【答案】－2【解析】若f(x)为偶函数，则m＋2＝0，m＝－2.7．若函数f(x)＝loga(x＋)是奇函数，则a＝________.【答案】【解析】方法一：由于y＝f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0即loga(x＋)＋loga(－x＋)＝0∴loga2a2＝0，∴2a2＝1，∴a＝±，又a>0，故填a＝.方法二：由于y＝f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，因此loga＝0，∴2a2＝1，∴a＝±，又a>0，∴a＝.8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________.【答案】－0.5【解析】由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝－＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.9．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f()．(1)求证：函数f(x)是奇函数；(2)如果当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数；[知识拓展]抽象函数奇偶性用赋值法和定义法；单调性的证明,，要用单调性的定义.10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，011)＋f(2012)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝0.[新题训练]（分值：15分建议用时：10分钟）11.（5分）已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋a|(其中a∈R)是奇函数，则a2020＝________.【答案】1【解析】由已知得f(0)＝1－|a|＝0，a＝±1且当a＝±1时容易验证f(x)＝|x－1|－|x＋a|是奇函数，因此a2020＝1.12.（5分）设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f的所有x之和为()A．－3B．3C．－8D．8【答案】C【解析】因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝f，只有两种情况：①x＝；②x＋＝0.由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.由②知x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为x3＋x4＝－5.因此满足条件的所有x之和为－8.
