高二数学双曲线的几何性质知识精讲人教版一
教学内容：双曲线的几何性质二
本周教学重、难点：1
重点：双曲线的几何性质2
难点：直线与双曲线的交点，弦长问题，用第二定义求双曲线方程三
知识归纳：【典型例题】[例1]等轴双曲线的两个顶点分别为、，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点，求证：（1）（2），证明：（1）不妨设等轴双曲线的方程为设直线MN的方程为如下图，易求得∴∴又均为锐角∴即用心爱心专心根据对称性，∴（2）仿（1）可求得∴∴，同理可证[例2]已知双曲线的焦点坐标是和，是双曲线上的任一点，求证：，，其中是双曲线的离心率
证明：双曲线的两焦点为、，相应的准线方程分别是和
双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率∴，化简得，[例3]在双曲线上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍
解：设P点的坐标为，、分别为双曲线的左、右焦点
双曲线的准线方程为∴ ∴P在双曲线的右支上∴∴把代入方程得所以P点的坐标为[例4]已知双曲线方程为，双曲线左支上一点到直线的距离是，求
解： 点到的距离为，故∴又 点P在双曲线左支上，故∴又 ，即∴[例5]时，讨论方程表示何种曲线
用心爱心专心解：（1）当时，方程为，表示过原点的两条相交直线
（2）当时，，，，方程为，表示焦点在轴上的双曲线
（3）当时，，，，方程为，表示焦点在轴上的双曲线
（4）当时，方程为，表示两条平行直线
（5）时，若，方程变为表示圆，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆
（6）时，无轨迹
（7）时，方程为，表示焦点在轴上的双曲线
[例6]经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交C于A、B两点
（1）求；（2）求的周长
解：（1）由，得焦点、，离心率 直线的倾斜角为∴直线的方程为由方程组，消去，得关于的一元二次方程（*）设、，且，则、是方程（*）的两个相异实数根，由根与系数的关系
