四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A组1.已知点A的球坐标为(3,π2,π2),则点A的直角坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sinπ2×cosπ2=0,y=3×sinπ2×sinπ2=3,z=2×cosπ2=0,所以直角坐标为(0,3,0).答案B2.若点M的直角坐标为(-1,-√3,3),则它的柱坐标是()A.(2,π3,3)B.(2,2π3,3)C.(2,4π3,3)D.(2,5π3,3)解析设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ=√(-1)2+(-√3)2=2,θ=4π3,z=3,所以点M的柱坐标为(2,4π3,3),故选C.答案C3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的()A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面D.以原点为球心,半径为3的球面答案D4.导学号73574021已知点M的球坐标为(4,π4,3π4),则点M到Oz轴的距离为()A.2√2B.√2C.2D.4解析设点M的直角坐标为(x,y,z),因为(r,φ,θ)=(4,π4,3π4),所以{x=rsinφcosθ=4sinπ4cos3π4=-2,y=rsinφsinθ=4sinπ4sin3π4=2,z=rcosφ=4cosπ4=2√2,即M(-2,2,2√2).故点M到Oz轴的距离为√(-2)2+22=2√2.答案A5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.(1,π2,2)B.(2,π3,0)C.(3,π4,π6)D.(3,π6,π2)解析由点P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=π2时,点P在平面yOz内,故选A.答案A6.若点P的直角坐标为(√2,√6,3),则它的柱坐标是.答案(2√2,π3,3)7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为(2,π3,√5),则|OM|=.解析设点M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|=√x2+y2+z2=√4+5=3.答案38.若点M的球坐标为(2,π3,5π4),O为原点,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角为.答案2π69.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.解以正方体的顶点O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.则有O(0,0,0),A(1,π2,0),B(√2,π2,π4),C(1,π2,π2),D(1,0,0),E(√2,π4,0),F(√3,φ,π4)(φ∈[0,π2],且cosφ=√33),G(√2,π4,π2).10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:P(√5,π6,√3),Q(4,2π3,-3).(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:A(4,π2,5π3),B(8,3π4,π),C(0,π6,π5).解(1)设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=ρcosθ=√5cosπ6=√5×√32=√152,y1=ρsinθ=√5sinπ6=√5×12=√52,z1=√3,故点P的直角坐标为(√152,√52,√3).设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos2π3=-2,y2=4sin2π3=2√3,z2=-3,故点Q的直角坐标为(-2,2√3,-3).(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=rsinφcosθ=4sinπ2×cos5π3=4×1×12=2,y1=rsinφsinθ=4sinπ2sin5π3=4×1×(-√32)=-2√3,z1=rcosφ=4×cosπ2=0,故点A的直角坐标为(2,-2√3,0).设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sin3π4cosπ=8×√22×(-1)=-4√2,y2=8sin3π4sinπ=0,z2=8cos3π4=8×(-√22)=-4√2.故点B的直角坐标为(-4√2,0,-4√2).设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为(0,0,0).11.导学号73574022在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.解建立如图所示的空间直角坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=12.故点M的直角坐标为(12,12,2).由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=√22,∠ECN=π4,故点M的柱坐标为(√22,π4,2).B组1.在柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示()A.圆B.与xOy平面垂直的平面C.球面D.与xOy平面平行的平面答案D2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,φ,θ),则应有()A.φ=π2B.θ=π2C.φ=π2或3π2D.θ=π2或3π2解析由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=π2或3π2.答案D3.在柱坐标系中,满足{ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积为.解析根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的...
