高中数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角课后提升训练（含解析）新人教B版选择性必修第一册-新人教B版高二第一册数学试题VIP免费

3直线与平面的夹角课后篇巩固提升基础达标练1

设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若=2π3,则l与α所成的角为()A

5π6解析线面角的范围是0,π2

=2π3,∴l与法向量所在直线所成角为π3,∴l与α所成的角为π6

若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为()A

-√1111B

√1111C

-√11011D

√91333解析设α与l所成的角为θ,则sinθ=|cos|=|(-2,-3,3)·(4,1,1)|√4+9+9×√16+1+1=-43√11=4√1133,故直线l与α所成角的余弦值为√1-(4√1133)2=√91333

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()A

5π6解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则⃗DB=(1,1,0),⃗DE=0,1,12,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴⃗DB·n=0,⃗DE·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而⃗BA1=(0,-1,1),∴cos=1+22√3=√32,∴=30°

∴直线A1B与平面BDE成60°角

已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为√3的正三角形

若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A

π6解析如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3

设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为√12+(√3)2=2

故∠PAO=π3,即PA与平面ABC所成的角为π3

在空间直角坐标系Oxyz中,