1.2.3直线与平面的夹角课后篇巩固提升基础达标练1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若
=2π3,则l与α所成的角为()A.2π3B.π3C.π6D.5π6解析线面角的范围是0,π2. =2π3,∴l与法向量所在直线所成角为π3,∴l与α所成的角为π6.答案C2.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为()A.-√1111B.√1111C.-√11011D.√91333解析设α与l所成的角为θ,则sinθ=|cos|=|(-2,-3,3)·(4,1,1)|√4+9+9×√16+1+1=-43√11=4√1133,故直线l与α所成角的余弦值为√1-(4√1133)2=√91333.答案D3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.π6B.π3C.π2D.5π6解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则⃗DB=(1,1,0),⃗DE=0,1,12,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴⃗DB·n=0,⃗DE·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而⃗BA1=(0,-1,1),∴cos<⃗BA1,n>=1+22√3=√32,∴<⃗BA1,n>=30°.∴直线A1B与平面BDE成60°角.答案B4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为√3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为√12+(√3)2=2.故∠PAO=π3,即PA与平面ABC所成的角为π3.答案B5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,√6),则向量⃗AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),⃗AB=(1,3,√6),所以cos=n·⃗AB|n||⃗AB|=3t4|t|,因为∈[0,π],所以sin=√1-(3t4|t|)2=√74.答案√746.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为⃗DB1=(1,1,1).又⃗BB1=(0,0,1),则sin<⃗DB1,⃗BB1>=|cos<⃗DB1,⃗BB1>|=|⃗DB1·⃗BB1||⃗DB1||⃗BB1|=1√3×1=√33.答案√337.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A(√32,12,0),⃗AC1=(-√32,12,1),又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.sinθ=|cos|=|⃗AC1·n||⃗AC1||n|=√64,∴cosθ=√1-sin2θ=√104.答案√1048.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值.解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,a2,0,∴⃗A1C=(a,a,-a),⃗DE=a,-a2,0,∴cos<⃗A1C,⃗DE>=⃗A1C·⃗DE|⃗A1C||⃗DE|=√1515,故A1C与DE所成角的余弦值为√1515.(2)连接DB1, ∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.又B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线,故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),得⃗DA=(0,-a,0),⃗DB1=(a,-a,a),∴cos<⃗DA,⃗DB1>=⃗DA·⃗DB1|⃗DA||⃗DB1|=√33,又直线与平面所成角的范围是0,π2,故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为√33.9.(2019浙江,19)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=12AD,又因为BC∥AD,BC=12AD,所以EF∥BC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF. BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,因此CE∥平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是...
