4.5.3函数模型的应用课后篇巩固提升基础巩固1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是()A.711B.712C.12√7-1D.11√7-1解析设月平均增长率为x,1月份的产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=11√7,故x=11√7-1.答案D2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.答案D3.现有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.V=log2tB.V=log12tC.V=t2-12D.V=2t-2解析当t=4时,选项A中的V=log24=2,选项B中的V=log124=-2,选项C中的V=42-12=7.5,选项D中的V=2×4-2=6,故选C.答案C4.(一题多空题)已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒能繁殖个.解析当t=0.5时,y=2,∴2=e12k,∴k=2ln2,∴y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1024.答案2ln210245.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48).解析设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg34=n(lg3-2lg2)≤lg23=lg2-lg3,将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥32,故至少要经过2小时才能开车.答案26.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确的叙述是.解析由图象可得,当t=2时,y=49,即a2=49,解得a=23.故y=(23)t.所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=(23)4=1681<15,所以①正确;第一个月的减少量为1-(23)1=13;第二个月的减少量为23−(23)2=29,显然两者不同,所以②错误;③由已知(23)t1=12,(23)t2=14,(23)t3=18,所以(23)t1+t2=(23)t1×(23)t2=12×14=18,即(23)t1+t2=(23)t3,所以t1+t2=t3,故③正确.答案①③7.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?解(方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).(方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米). 15.386>15,∴方案二较好.8.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(18)t-a(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=(18)t-a,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=(18)0.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=(18)t-0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y={10t,0≤t≤0.1,(18)t-0.1,t>0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1...
