第二章几个重要的不等式一、选择题1.一批救灾物资随26辆汽车从A市以vkm/h匀速直达灾区，已知两地公路长400km，为安全起见，两车间距不得小于km，那么这批物资全部到灾区，至少需要______h()A.5B.10C.15D.20解析依题意，所用时间为＝v＋≥10，当且仅当v＝80时取等号.答案B二、填空题2.设通过一点的k的平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k＋1个平面将空间分成f(k＋1)＝f(k)＋________个部分.解析k＝1，f(k)＝2.k＝2，f(k)＝4，4－2＝2×1.k＝3，f(k)＝8，8－4＝4＝2×2.所以，f(k＋1)－f(k)＝2k.答案2k三、解答题3.已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，证明：a3＋b3＋c3≥.证明利用柯西不等式＝≤[a＋b＋c]＝(a3＋b3＋c3)(a＋b＋c)2( a＋b＋c＝1)又因为a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，在此不等式两边同乘以2，再加上a2＋b2＋c2得：(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2) (a2＋b2＋c2)2≤(a3＋b3＋c3)·3(a2＋b2＋c2)，故a3＋b3＋c3≥.4.设f(n)＝1＋＋＋…＋，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]对于n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论.证明当n＝2时，由f(1)＝g(2)[f(2)－1]得，g(2)＝＝＝2当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)[f(3)－1]得，g(3)＝＝3，猜想：g(n)＝n(n≥2).下面用数学归纳法证明：当n≥2时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立.证明如下：(1)当n＝2时，由上面计算知，等式成立.(2)假设n＝k(k≥2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1].则n＝k＋1时，左边＝f(1)＋f(2)＋…＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1].∴当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)＝n.5.已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.1(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)≥lnx在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)证明：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)＋(n≥1).(1)解f′(x)＝a－，则有解得(2)解由(1)知，f(x)＝ax＋＋1－2a.令g(x)＝f(x)－lnx＝ax＋＋1－2a－lnx，x∈[1，＋∞)，则g(1)＝0，g′(x)＝a－－＝＝，(ⅰ)当0
1.若11，则g′(x)>0，g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)＝0，即f(x)>lnx，故当x≥1时，f(x)≥lnx.综上所述，所求a的取值范围为.(3)证明法一由(2)知：当a≥时，有f(x)≥lnx(x≥1).令a＝，有f(x)＝≥lnx(x≥1)，且当x>1时，>lnx.令x＝，有ln<＝，即ln(k＋1)－lnk<，k＝1，2，3，…，n.将上述n个不等式依次相加得ln(n＋1)<＋＋，整理得1＋＋＋…＋>ln(n＋1)＋.法二用数学归纳法证明.①当n＝1时，左边＝1，右边＝ln2＋<1，不等式成立.②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，就是1＋＋＋…＋>ln(k＋1)＋.那么1＋＋＋…＋＋>ln(k＋1)＋＋＝ln(k＋1)＋.由(2)知：当a≥时，有f(x)≥lnx(x≥1).令a＝，有f(x)＝≥lnx(x≥1).令x＝，得：≥ln＝ln(k＋2)－ln(k＋1).∴ln(k＋1)＋≥ln(k＋2)＋.∴1＋＋＋…＋＋>ln(k＋2)＋.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立，根据①和②，可知不等式对任何n∈N＋都成立.6.求证：cosx＋cos3x＋…＋cos(2n－1)x＝(n∈N＋).证明(1)当n＝1时，左边＝cosx，右边＝＝cosx，等式成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，cosx＋cos3x＋…＋cos(2k－1)x＝成立.当n＝k＋1时，cosx＋cos3x＋…＋cos(2k－1)x＋cos(2k＋1)x＝＋cos(2k＋1)x＝[sin2kx＋2sinxcos(2k＋1)x]＝[sin2kx＋sin(2k＋2)x－sin2kx]＝，2∴对n＝k＋1时，等式成立.由(1)，(2)知，对一切自然数n∈N＋，等式均成立.7.对于一切自然数n，先猜出使tn>n2的最小的自然数t，然后用数学归纳法证明，并证明不等式n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)成立.解猜想：当t＝3时，对一切自然数n使3n>n2成立.证明如下：当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立.假设n＝k(k≥1)时，3k>k2成立，则有3k≥k2＋1.当n＝k＋1时，3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k>k2＋2(k2＋1)>3k2＋1， (3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴...
