课下梯度提能（十九）一、题组对点训练对点练一向量数量积的运算1．下列命题：(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为()A.B．3C．2D.对点练二向量的模4．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．125．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．6．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________．对点练三两向量的夹角与垂直问题7．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6B．6C．3D．－38．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.9．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________．10．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．二、综合过关训练1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为()A.B．3C．4D．52．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5A．2B.C.D.5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．6．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？答案[学业水平达标练]1.解析：选B(1)(2)不正确，(3)正确．2.解析：选A∵|a|cos〈a，b〉＝，|b|＝3，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.3.4.解析：选A由已知得，a2＋a·b－2b2＝－32，∴|a|2＋|a|×4×cos－2×42＝－32.解得|a|＝2或|a|＝0(舍)．5.解析：|5a－b|＝＝＝＝＝7.答案：76.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.故cos120°＝＝＝＝－，得＝，即＝.答案：7.解析：选B由c⊥d得c·d＝0，即(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，即2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，所以2k＋(3k－8)×1×1×cos90°－12＝0，即k＝6.故选B.8.解析：∵c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，∴cos〈a，c〉＝＝.答案：9.解析：∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)．∴k2＋1＋k＝3(1＋k2－k)．即k2－2k＋1＝0，∴k＝1.答案：110.解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.二、综合过关训练1.解析：选A由已知|a|＝3，|b|＝5，cosθ＝cos45°＝，而向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝3×＝.2.解析：选A∵|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝10，即a2＋b2＋2a·b＝10.①∵|a－b|＝，∴(a－b)2＝6，即a2＋b2－2a·b＝6.②由①②可得a·b＝1，故选A.3.4.解析：画出图形知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，＝0＋4×5×＋5×3×＝－25.答案：－255.解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.答案：6.解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝|a|.设a与a＋b的夹角为θ.则cosθ＝＝＝.∴θ＝30°.7.解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2＋|a|2－.∵b是非零向量，∴|b|≠0，∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
