高考数学 黄金考点精析精训 考点22利用空间向量求解立体几何中的角 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点22利用空间向量求解立体几何中的角【考点剖析】1.最新考试说明：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.2.命题方向预测：空间角的计算是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角.3.课本结论总结：一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：①a＝λb⇒a∥b；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.③若OA，OB不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是OP＝λOA＋μOB且λ＋μ＝1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．三种成角(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是[0，π]．4.名师二级结论：1.夹角计算公式(1)线线角：直线与直线所成的角θ，如两直线的方向向量分别为a，b，则.(2)线面角：直线与平面所成的角θ，如直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则.(3)面面角：两相交平面所成的角θ，两平面的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.2.距离公式(1)点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；(2)点线距：点M到直线a的距离，如直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离d＝|MN|sin〈MN，a〉；(3)线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；(4)点面距：点M到平面α的距离：如平面α的法向量为n，平面α内任一点为N，则点M到平面α的距离d＝|MN||cos〈MN，n〉|＝；(5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；(6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离.5.课本经典习题：(1)新课标人教A版选修2-1第109页，例题4如图3.2-7,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.(1)求证:PA//平面EDB;(2)求证:PB平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.【解析】如图3.2-8所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1.yxz图3.2-8GEADBCPF（3）解:已知PBEF,由(2)可知PBDF,故EFD是二面角C-PB-D的平面角.设点F的坐标为(x,y,z),则.因为,所以,所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,所以，点F的坐标为。又点E的坐标为，所以，因为，即EFD=600，即二面角C-PB-D的大小为600.【经典理由】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小.6.考点交汇展示：(1)求空间角与三视图的交汇三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】根据侧视图和俯视图可知，为正三角形，顶点D在底面内的射影为BD的中点O，所以两两互相垂直，建坐标系如图所示，则，，设（1）证明：设，则，.因为，所以点P是BC的中点.PNMOBDCAyxz（2）易得平面PMN的法向量为.，设平面ABC的法向量为，则，所以.(2)求空间...