周周回馈练对应学生用书P57一、选择题1．对于向量a与b，下列说法正确的是()A．如果a与b共线，则a＝b或a＝－bB．如果a与b共线，则a与b平行C．如果a与b共线，则a与b方向相同或相反D．如果a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb答案B解析a与b共线，不能确定模的关系，故A错误；a与b中如果有零向量，由于零向量的方向是任意的，此时它们的方向不能保证相同或相反，C错误；当a≠0而b＝0时，这样的λ不存在，D错误；向量平行和共线是相同的概念，故B正确．2．给出下列四个结论①AB－AC＝BC；②0(a)＝0；③0(0)＝0；④若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①AB－AC＝CB，∴①错误．②0(a)＝0，∴②错误．③0(0)＝0正确．④a与b共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错误．因此正确的只有③，应选B．3．已知平面内M，N，P三点满足MN－PN＋PM＝0，则下列说法正确的是()A．M，N，P是一个三角形的三个顶点B．M，N，P是一条直线上的三个点C．M，N，P是平面内的任意三个点D．以上都不对答案C解析因为MN－PN＋PM＝MN＋NP＋PM＝MP＋PM＝0，所以MN＋NP＋PM＝0对任意情况是恒成立的．故M，N，P是平面内的任意三个点．故选C．4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB．ADC．BCD．BC答案A解析EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD．5．若O为▱ABCD的中心，AB＝2e1，BC＝3e2，则e2－e1等于()A．BOB．AOC．COD．DO答案A解析∵BD＝AD－AB＝BC－AB＝3e2－2e1，BO＝BD，∴BO＝(3e2－2e1)＝e2－e1．故选A．6．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量AB＝a－kb，CB＝2a＋b，CD＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A．10B．－10C．2D．－2答案C解析因为A，B，D三点共线，所以AB＝λBD＝λ(CD－CB)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2．二、填空题7．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．答案－解析因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，又方向相反，所以a＝－b．8．如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量AD相等的向量为________；与向量OA共线的向量为________；与向量OA的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)答案OCDC，EBOB，OC，DC，EB，AD解析∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与AD相等的向量为OC；与OA共线的向量为DC，EB；与OA的模相等的向量为OB，OC，DC，EB，AD．9．若实数p和非零向量a与b满足pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________．(填“共线”或“不共线”)答案共线解析由题知实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－b，由向量共线定理可知a，b共线．三、解答题10．已知点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设BC＝a，DA＝b，试用a，b表示EF．解如图，取AB的中点P，连接EP，FP．在△ABC中，EP是中位线，所以PE＝BC＝a．在△ABD中，FP是中位线，所以PF＝AD＝－DA＝－b．在△EFP中，EF＝EP＋PF＝－PE＋PF＝－a－b＝－(a＋b)．11．在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得BD＝BC－BE．若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由．解假设存在D点，使得BD＝BC－BE．BD＝BC－BE⇒BD＝BC－(BC＋CE)＝BC－CE⇒BD－BC＝－CE⇒CD＝－CE．可知D点在线段AC的延长线上，所以在线段AC上不存在这样的点使得BD＝BC－BE．12．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f．(1)将AD用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f．(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，即AD＝2BC，所以根据数乘向量的定义，知AD与BC同向，且|AD|＝2|BC|，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
