高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值作业 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学试题VIP免费

3.3.2极大值与极小值[基础达标]1．函数f(x)＝x3－12x的极大值与极小值之和为________．解析：函数的定义域为R，f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x1＝－2或x2＝2.列表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值16↘极小值－16↗∴当x＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16.当x＝2时，函数有极小值f(2)＝－16.∴极大值与极小值之和为f(2)＋f(－2)＝0.答案：02．设函数f(x)＝＋lnx，则下列结论正确的是________．①x＝为f(x)的极大值点；②x＝为f(x)的极小值点；③x＝2为f(x)的极大值点；④x＝2为f(x)的极小值点．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0时；当x>2时，f′(x)>0时，函数f(x)为增函数；当00)有极大值9，则m的值是________．解析：由f′(x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m)＝0，得x＝－m或x＝m，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－m)－mmf′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9，∴m＝2.答案：25．函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是________．解析：函数在x＝x0处取得极值必须满足两个条件：①x0为f′(x)＝0的根；②导数值在x0左右异号．所以，有3个极值点．答案：36．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；1②函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号)解析：当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x＝2时，函数有极大值；而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③7．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝1和x＝－1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求实数a，b，c的值；(2)试判断当x＝1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(－1)＝0，f(1)＝－1解得a＝，b＝0，c＝－；(2)f(x)＝x3－x，f′(x)＝x2－，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－10，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．[能力提升]1．(2014·苏州检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．解析：由f′(x)＝3x2－6b＝0，得x＝±(b>0)， f(x)在(0,1)内有极小值，∴0<<1，∴0