高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第十二章 第2课 导数的应用（1）VIP专享VIP免费

第2课导数的应用（1）【考点导读】1．通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。2．结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。【基础练习】1．若函数是上的单调函数，则应满足的条件是。2．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是5，－15。3．用导数确定函数的单调减区间是。4．函数的最大值是，最小值是。5．函数的单调递增区间是(-∞,-2)与(0,+∞)。【范例导析】例1．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，比较f（0）＋f（2）与2f（1）的大小：f（0）＋f（2）2f（1）。（2）在区间上的最大值是2。解：（1）由题意得：当x1时，f（x）0，所以函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时，f（x）0，所以f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1）；（2）当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数。例2．求下列函数单调区间：（1）（2）（3）（4）解：（1） ∴时∴，（2）∴，1（3）∴，∴，，（4）定义域为点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。例3．设函数f(x)=（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。解：由已知得，令，解得。（Ⅰ）当时，，在上单调递增；当时，，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。备用题．1．求证下列不等式：（1）（2）（3）证明：（1）设，则，又∴为上2∴恒成立∴设又∴在上∴恒成立∴（2）原式令∴∴∴（3）令∴∴点评：构造函数证明不等式主要是利用函数的最大（小）值来解决。2．已知，函数设，记曲线在点处的切线为。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①②若，则解：（1）的导数，由此得切线的方程：，（2）依题得，切线方程中令，得，其中，（ⅰ）由，，有，及，3∴，当且仅当时，。（ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），，所以。【反馈演练】1．关于函数，下列说法不正确的是（4）。（1）在区间（，0）内，为增函数（2）在区间（0，2）内，为减函数（3）在区间（2，）内，为增函数（4）在区间（，0）内，为增函数2．对任意x，有，，则此函数为。3．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是5,-15。4．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数g（）的叙述正确的是（2）。（1）若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.（2）若a=－1，－2