高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 导数的四则运算法则学业分层测评 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学试题VIP免费

1.2.3导数的四则运算法则(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1【答案】A2．若f(x)＝，则f(x)的导数是()A.B.C.D.【解析】f′(x)＝＝.【答案】A3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)D.【解析】y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.【答案】B4．函数f(x)＝x＋xlnx在(1,1)处的切线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y＋1＝0D．2x－y＋1＝0【解析】∵f′(x)＝(x＋xlnx)′＝1＋x′lnx＋x(lnx)′＝1＋lnx＋1＝2＋lnx，∴f′(1)＝2＋ln1＝2，∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.【答案】B5．函数y＝cos2x＋sin的导数为()A．－2sin2x＋B．2sin2x＋C．－2sin2x＋D．2sin2x－【解析】y′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋·cos＝－2sin2x＋.【答案】A二、填空题6．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.【导学号：05410015】1【解析】设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．【答案】(e，e)7．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________.【解析】∵f′(x)＝f′cosx－sinx，∴f′＝f′cos－sin＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′＝－cos－sin＝－.【答案】－8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.【解析】∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.【答案】2sin2x三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝esinx；(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．【解】(1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2)－(－4x)＝.(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝＝.10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．【解】因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sinx×(sinx)′＝2×2sinx×cosx＝2sin2x，所以k＝2sin＝.所以过点P的切线方程为y－＝，即x－y＋－＝0.[能力提升]1．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．2cosB．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2xD．2cos【解析】∵y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝cos2x·(2x)′＋sin2x·(2x)′＝2cos2x＋2sin2x2＝2＝2cos，故选A.【答案】A2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()【导学号：05410016】A.B.C.D.【解析】因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈.【答案】D3．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为__________________________．【解析】因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以k＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.【答案】5x＋y－3＝04．已知函数f(x)＝x3＋1(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．【解】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.∴a的取值范围为∪.3