高中数学 第3章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数学业分层测评 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

学业分层测评(十五)常见函数的导数(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.若f(x)＝，则f′(1)＝________.【解析】∴f′(1)＝.【答案】2.下列命题中，正确命题的个数为________.①若f(x)＝，则f′(0)＝0；②(logax)′＝xlna；③加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；④曲线y＝x2在(0,0)处没有切线.【解析】①因为f(x)＝，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；②(logax)′＝，故错误；③瞬时速度是位移S(t)对时间t的导数，故错误；④y＝x2在(0,0)处的切线为y＝0，故错误.【答案】03.曲线y＝sinx在点处切线的斜率为________.【导学号：24830074】【解析】∵y′＝cosx，∴曲线y＝sinx在点处切线的斜率为cos＝.【答案】4.设f(x)＝x4，若f′(x0)＝4，则x0＝________.【解析】∵f′(x)＝4x3，∴f′(x0)＝4x＝4，∴x＝1，则x0＝1.【答案】15.已知函数f(x)＝log2x，则f′(log2e)＝________.【解析】f′(x)＝，∴f′(log2e)＝＝1.【答案】16.曲线f(x)＝在处切线的方程为________.【解析】∵f′(x)＝－，∴k＝f′(2)＝－，则切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.【答案】x＋4y－4＝07.若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.1【答案】648.设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________.【解析】设切点为(x0，y0)，则y′＝，∴＝，∴x0＝2，∴y0＝ln2，∴切点为(2，ln2)，∵切点在切线上，∴ln2＝×2＋b，∴b＝ln2－1.【答案】ln2－1二、解答题9.求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝sin；(4)y＝e2.【导学号：24830074】【解】(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.(2)y′＝(4x)′＝4xln4.(3)∵y＝sin＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.(4)y′＝(e2)′＝0.10.求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.【解】方法一：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点为(x0，x)，∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，∴切点坐标为，∴所求的最短距离d＝＝.方法二：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|＝2＋，当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.能力提升]1.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于________.【解析】y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).令y＝0得xn＝.【答案】2.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.2【解析】y′＝2x，切线斜率k＝2ak，切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0，－a＝2ak·x－2a，∴ak＋1＝ak，若a1＝16，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.【答案】213.抛物线y＝x2上到直线x＋2y＋4＝0距离最短的点的坐标为________.【解析】当切线平行于直线x＋2y＋4＝0时，切点为所求，令y′＝2x＝－，得x＝－，所以距离最短的点的坐标为.【答案】4.已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.【解】不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须有cosx0·(－sinx0)＝－1，即cosx0·sinx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.3