第三讲平面向量配套作业一、选择题1.已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是（B）A.a∥bB.a⊥bC.|a|＝|b|D.a＋b＝a－b解析：解法一由|a＋b|＝|a－b|，平方可得a·b＝0，所以a⊥b.故选B.解法二根据向量加法、减法的几何意义可知|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.故选B.2.（2014·北京卷）已知向量a＝（2，4），b＝（－1，1），则2a－b＝（A）A.（5，7）B.（5，9）C.（3，7）D.（3，9）解析：因为2a＝（4，8），所以2a－b＝（4，8）－（－1，1）＝（5，7）.故选A.3.设向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·（a－b）＝0，则a与b的夹角是（B）A.30°B.60°C.90°D.120°4.（2015·福建卷）设a＝（1，2），b＝（1，1），c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于（A）A.－B.－C.D.解析：c＝a＋kb＝（1＋k，2＋k），又b⊥c，所以1×（1＋k）＋1×（2＋k）＝0，解得k＝－.5.已知：OA＝（－3，1），OB＝（0，5），且AC∥OB，BC⊥AB，则点C的坐标为（B）A.B.C.D.解析：设点C（x，y），AC＝OC－OA＝（x＋3，y－1），∵AC∥OB，∴x＋3＝0.∴x＝－3.又BC＝OC－OB＝（x，y－5），AB＝（3，4），又∵BC⊥AB，∴3x＋4（y－5）＝0.∴y＝.∴C.6.（2015·福建卷）已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若P点是ΔABC所在平面内一点，且AP＝＋，PB·PC的最大值等于（A）A.13B.15C.19D.21解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B，C，AP＝（1，0）＋4（0，1）＝（1，4），即P（1，4），所以PB＝，PC＝（－1，t－4），因此PB·PC＝1－－4t＋16＝17－，因为＋4t≥2＝4，所以PB·PC的最大值等于13，当＝4t，即t＝时取等号.二、填空题7.（2015·北京卷）在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝；y＝Ｗ.解析：∵AM＝2MC，∴AM＝AC.∵BN＝NC，∴AN＝（AB＋AC），∴MN＝AN－AM＝（AB＋AC）－AC＝AB－AC.又MN＝xAB＋yAC，∴x＝，y＝－.答案：－8.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＝，y＝Ｗ.解析：如图，作DF⊥AB交AB延长线于D，设AB＝AC＝1⇒BC＝DE＝，∵∠DEB＝60°，∴BD＝.由∠DBF＝45°，得DF＝BF＝×＝，故x＝1＋，y＝.答案：1＋9.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（－2，0），B（6，8），C（8，6），则点D的坐标为Ｗ.解析：平行四边形ABCD中，AB＝DC＝OB－OA＝OC－OD⇒OB＋OD＝OA＋OC，∴OD＝OA＋OC－OB＝（－2，0）＋（8，6）－（6，8）＝（0，－2），即点D坐标为（0，－2）.答案：（0，－2）三、解答题10.已知向量OP＝（cosx，sinx），OQ＝，定义函数f（x）＝OP·OQ.（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当OP⊥OQ时，求锐角x的值.解析：（1）f（x）＝－sinxcosx＋sin2x＝－＝－sin，∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.（2）当OP⊥OQ时，f（x）＝0，即－sin＝0，sin＝，又<2x＋＜，故2x＋＝，故x＝.11.已知向量a＝（sinθ，－2）与b＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈.（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ－φ）＝，0＜φ＜，求cosφ的值.解析：（1）∵a与b互相垂直，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得sinθ＝±，cosθ＝±，又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.（2）∵0＜φ＜，0＜θ＜，∴－＜θ－φ＜.∴cos（θ－φ）＝＝.∴cosφ＝cos[θ－（θ－φ）]＝cosθcos（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）＝×＋×＝.
