第三章导数及其应用第1讲导数的概念与运算一、填空题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案3(x2－a2)2．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为________．解析y′＝(x3)′＝3x2，k＝3，由题意，3×＝－1，所以＝－.答案－3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝________.解析f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.答案－24．若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．解析f′(x)＝excosx－exsinx，因为函数图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝e(cos1－sin1)＜0，所以切线的倾斜角是钝角．答案钝角5．已知各项均为正数的等比数列{an}；满足a1a7＝4，a6＝8，函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，则f′＝________.解析设{an}公比为q，则由得q＝2，a1＝，所以an＝2n－3，f′＝a1＋2a2×＋3a3×2＋…＋10a10×9＝＋2×＋3×＋…＋10×＝(1＋2＋3＋…＋10)×＝.答案6．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．解析设P(t，t2－lnt)，由y′＝2x－，得k＝2t－＝1(t＞0)，解得t＝1.所以过点P(1,1)的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝＝即为所求．答案7．函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)等于________．解析与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝＝＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝.答案8．已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．解析由y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，得f′(2)＝2，f(2)＝3，于是由g(x)＝x2＋f(x)，得g′(x)＝2x＋f′(x)，从而g(2)＝22＋f(2)＝7，g′(2)＝2×2＋f′(2)＝6，所以y＝g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.答案6x－y－5＝09．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导函数为f′(x)，且f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．解析f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0，又所以ac≥，所以c＞0，1所以＝≥≥＝2.答案210．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．解析设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.答案3x＋y＋2＝0二、解答题11．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得解得a＝，x＝e2.因为两曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.12．已知函数y＝f(x)＝.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的最大值．解(1)因为f′(x)＝，所以k＝f′＝2e2.又f＝－e，所以y＝f(x)在x＝处的切线方程为y＋e＝2e2，即2e2x－y－3e＝0.(2)令f′(x)＝0，得x＝e.因为当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，所以f(x)max＝f(e)＝.13．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又 点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2) 直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－. l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.14．已知在函数f(x)＝mx3－x的图象上，以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值；(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立？如果存在，请求...
