椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知F1，F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.由题意知4a=16，即a=4，又因为e=，所以c=2，所以b2=a2-c2=16-12=4，所以椭圆的标准方程为+=1.2.(2015·西安高二检测)两个正数1，9的等差中项是a，等比中项是b且b>0，则曲线+=1的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.因为a==5，b==3，所以e==.3.(2015·怀化高二检测)过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是()A.14B.16C.18D.20【解析】选C.如图设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|，|OP|=|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10+2×4=18，故选C.14.设F1，F2是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|=|F2F1|=2=2c⇒e==.5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选B.将x=-c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|=，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2=60°，所以|PF2|=，根据椭圆定义得=2a，从而可得e==.【一题多解】选B.设|F1F2|=2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|=c，|PF2|=c.2所以|PF1|+|PF2|=2c=2a，离心率e==.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知椭圆+=1的离心率e=，则m的值为__________.【解析】当焦点在x轴上时，a2=5，b2=m，所以c2=a2-b2=5-m.又因为e=，所以=，解得m=3.当焦点在y轴上时，a2=m，b2=5，所以c2=a2-b2=m-5.又因为e=，所以=，解得m=.故m=3或m=.答案：3或【误区警示】认真审题，防止丢解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，则应该有两解.7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0
0，所以a2>1，所以1b>0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，所以c=b=4，所以a2=b2+c2=32，故所求椭圆的标准方程为+=1.10.设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点，F1，F2是其左、右焦点.已知∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】利用椭圆的定义得到a，b，c的不等式，再化为离心率求范围.【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a，①在△F1PF2中，由余弦定理得cos60°==，即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.②①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③由②③得|PF1||PF2|=.④由①和④运用基本不等式，得|PF1||PF2|≤，即≤a2.由b2=a2-c2，故(a2-c2)≤a2，解得e=≥.5又因为e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为.【一题多解】设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2时，点P对两个焦点的张角最大，故∠F1B1F2≥∠F1PF2=60°，从而∠OB1F2≥30°...
