高考数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲平面向量基本定理及坐标表示一、填空题1．与向量a＝(12,5)平行的单位向量为________．解析设e为所求的单位向量，则e＝±＝±.答案或2．已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ＝________.解析由a－λb＝(1＋λ，2－λ)与a＝(1,2)垂直，得1＋λ＋2(2－λ)＝0，解得λ＝5.答案53．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.解析由a∥b得1×m＝2×(－2)，得m＝－4.∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案(－4，－8)4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________.解析AD＝BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故BD＝AD－AB＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．答案(－3，－5)5.如图，在四边形ABCD中，AB＝2AD＝1，AC＝，且∠CAB＝，∠BAD＝，设AC＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝______.解析建立直角坐标系如图，则由AC＝λAB＋μAD，得(，0)＝λ＋μ，即解得λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4.答案46．已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为________．解析p∥q⇔12＋3x＝0，解得x＝－4.∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝.答案7．已知：如图，|OA|＝|OB|＝1，OA与OB的夹角为120°，OC与OA的夹角为30°，若OC＝λOA＋μOB(λ、μ∈R)，则等于________．解析过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2CD，又 OD＝λOA，DC＝μOB，∴λ|OA|＝2μ|OB|，∴λ＝2μ，∴＝2.答案28．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________.解析由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.答案9．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是________．解析由a＝2b，得由λ2－m＝cos2α＋2sinα＝2－(sinα－1)2，得－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m－2，则－2≤4(m－1)2－m≤2，∴解得≤m≤2，而＝＝2－，故－6≤≤1.答案[－6,1]10.如图，在边长为单位长度的正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．解析不妨以点A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x，y)．则(x，y)＝α＋β，∴α＋β＝2x，当点P在CE上时，α＋β＝3，当P在D点时，α＋β＝4.答案[3,4]二、解答题11．已知a＝ksinθe1＋(2－cosθ)e2，b＝e1＋e2，且a∥b，e1，e2分别是x轴与y轴上的单位向量，θ∈(0，π)．(1)求k与θ的关系式：(2)求k＝f(θ)的最小值．解(1)由a∥b，得a＝λb，即ksinθe1＋(2－cosθ)·e2＝λ(e1＋e2)．因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，所以即ksinθ＝2－cosθ，所以k＝，θ∈(0，π)．(2)k＝＝＝＝＝tan＋≥，当且仅当tan＝，即θ＝时等号成立，所以k的最小值为.12．已知向量v＝(x，y)与向量d＝(y,2y－x)的对应关系用d＝f(v)表示．(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．(1)解f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解设c＝(x，y)，则由f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，得所以所以c＝(2p－q，p)．(3)证明设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)故f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b).13．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值．解(1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2,4t2＋2)． AB＝OB－OA＝(4,4)，AM＝OM－OA＝(...