专题13平面向量基本定理及其应用一、本专题要特别小心：1.平面向量基本定理的应用问题2.基本定理的两条路径法表示向量问题3.数形结合的应用4.向量于线性规划问题等综合问题5.向量的坐标表示及运算性质6.向量共线与垂直的坐标表示7.向量与数列的综合8.向量与解析几何的综合二．【学习目标】1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．三．【方法总结】1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量――→实数对(x，y)，任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系。2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.3.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.四．【题型方法】（一）平面向量基本定理例1.已知是正方形的中心．若，其中，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，本题正确选项：练习1.在平行四边形中，若则()A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示,平行四边形中,,，，,因为,所以,，所以，故选C.练习2.在中，若点满足，点为中点，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出图形如下，,故选A练习3.已知平行四边形的对角线分别为，，且，点是上靠近的四等分点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，因为，且点是上靠近的四等分点，∴，，∴， ，，∴.故选：B．（二）由平面向量基本定理求最值例2.在边长为的正方形中，点为线段的中点，点在线段上，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】设线段的中点为，连接，则，易得，所以的最大值为，故选C．练习1.已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为++=，所以G是△ABC重心，因此，从而,选A.(当且仅当时取等号)练习2.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1练习3.已知是等边的外接圆，其半径为4，是所在平面内的动点，且，则的最大值为()A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】结合题意，绘制图形，可知，代入得到故而故要计算最大值，可知当的时候，取到最大值，故最大值为，故选C。练习4.如图，，点是线段AB上的一个动点，D为OB的中点，则的最小值为______________.【答案】【解析】选取为基向量，设，其中，因为D为OB的中点，所以，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值，为，故答案为．（三）平面向量基本定理求参数例3.如图，在中，点在边上，且，过点的直线与直线，分别交于两点（不与点重合），若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得：，即：又三点共线，设：，则：整理可得：则：，即：本题正确选项：练习1.已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】由题意，可得在的角平分线上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故选D.练习2.如图,在梯形中,,为线段上一点,且，为的中点,若（，）,则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得：又因为，...
