抛物线的光学性质例析抛物线具有这样的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线22(0)ypxp．一光源在点4144M，处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线:24170lxy上的点N，再反射后又射回点M（如图所示）．（1）设PQ，两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，证明212yyp·；（2）求抛物线的方程；（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点02pF，，当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为2pykx，①由①式，得12pxyk，将其代入抛物线方程22ypx中，整理，得2220pyypk，由根与系数关系得212yyp．当直线PQ的倾斜角为90°时，将2px代入抛物线方程，得yp，同样得到212yyp，．（2）解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点4144M，关于l的对称点为()Mxy，，则411412441442417022yxxy，，用心爱心专心解得5141xy，．直线QN的方程为1y，Q点的纵坐标21y，由题设知P点的纵坐标14y，且由（1）知：212yyp·，则24(1)p，得2p，故所求抛物线方程为24yx．（3）解：将24yx，得4x．故P点坐标为(44)，，将1y代入直线l４的方程为24170xy，得132x，故N点坐标为1312，．由PN，两点坐标得直线PN的方程为2120xy，设M点关于直线NP的对称点为111()Mxy，，11114(2)14144144212022yxxy，，解得11141xy，．又1114M，的坐标是抛物线方程24yx的解，故抛物线上存在一点114，-与点M关于直线PN对称．用心爱心专心
