学业分层测评(十二)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知f(x)＝sin(3x＋φ)的图象的一个对称中心是，则φ＝________.【解析】把x＝－π代入sin(3x＋φ)＝0，得sin＝0，∴φ－π＝kπ，又|φ|＜，所以令k＝－2，得φ＝－2π＋π＝－.【答案】－2．三角函数式：①y＝3sin；②y＝3sin；③y＝3sin；④y＝3cos.其中在上的图象如图1311所示的函数是________．图1311【解析】代入，检验．【答案】①②④3．(2016·南京高一检测)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图1312所示，则ω＝________；φ＝________.图1312【解析】T＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2.当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.【答案】2－4．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m(ω＞0，|φ|＜)的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则正确的序号有________.【导学号：06460035】①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的值域为0,4]；③f(x)的初相φ＝；④f(x)在上单调递增．【解析】由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为1,3]，初相为，1排除①②③项，选④项．【答案】④5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图1313所示，f＝－，则f(0)＝________.图1313【解析】由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称，所以f＝－f＝.【答案】6．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【解析】f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2.【答案】27．(2016·南通高一检测)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝________.【解析】由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3.【答案】±38．(2016·苏州高一检测)设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，所有正确结论的编号为________．【解析】∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．【答案】②④二、解答题9．(2016·无锡高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的最值．【解】(1)由最低点为M得A＝2.由T＝π，得ω＝＝＝2.由点M是图象的一个最低点，得2sin＝－2，即sin＝－1，＋φ＝2kπ－(k∈Z)，φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.能力提升]1．(2016·南通高一检测)方程2sin＋2a－1＝0在0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．【解析】∵x∈0，π]，x＋∈，2sinx＋∈－，2]．画出函数图象可知，当≤1－2a＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－＜a≤.【答案】22．(2016·常州高一检测)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图1314所示．图1314(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】(1)A＝3，＝＝5π，故ω＝.由f(x)＝3sin的图象过点得sin＝0，又|φ|＜，故φ＝－，∴f(x)＝3sin.(2)设把f(x)的图象向左至少平移m(m＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f(x＋m)＝3sin＝3sin为偶函数，知－＝kπ＋，即m＝kπ＋.∵m＞0，∴m取最小值.故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.3
