高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十九）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大题练）理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（十九）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大题练）A卷——大题保分练1．(2018·成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝. 点B在以线段MN为直径的圆上，∴BM·BN＝0. BM·BN＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx－.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为.2．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.3.(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t>0)，∴＋＝1，得t＝，即P，由AB∥OP得＝，即b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，①又|AB|＝2，∴a2＋b2＝12，②由①②得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，设Q(x0，y0)(y0≠0)，则＋＝1，③ kQA·kQD＝－，A(－2，0)，∴·＝－(x0≠m)，④由③④得(m－2)x0＋2m－8＝0，即解得m＝2，∴存在点D(2，0)，使得kQA·kQD＝－.4．(2018·昆明模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设OD＝OA＋OB，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意知2c＝4，即c＝2，则椭圆C的方程为＋＝1，因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，解得a2＝5或a2＝(舍去)，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由OA＋OB＝OD，得D(x1＋x2，y1＋y2)，所以直线AB的斜率kAB＝，直线OD的斜率kOD＝，由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即·＝－，所以kAB·kOD＝－.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.B卷——深化提能练1．(2018·安徽江南十校联考)在平面直角坐标系中，直线x－y＋m＝0不过原点，且与椭圆＋＝1有两个不同的公共点A，B.(1)求实数m的取值所组成的集合M；(2)是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)因为直线x－y＋m＝0不过原点，所以m≠0.将x－y＋m＝0与＋＝1联立，消去y，得4x2＋2mx＋m2－4＝0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以Δ＝8m2－16(m2－4)>0，所以－2