高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第25讲 建构函数模型的应用性问题（含详解）VIP专享VIP免费

建构函数模型的应用性问题题型预测应用题是高考考查的重点，也是考生得分的难题，近年来该类试题的特点日趋鲜明：1.应用题的信息来源真实可靠；2.应用题的个数明显在增加；3.注重考查学生动脑、动手能力及应用的能力(如年文科22题)。从高考应用题来看，涉及函数、数列、不等式等高中主要板块的内容，是历年高考命题的热点和重点．解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．范例选讲例1．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？讲解本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到——“”“”“”关键词收支平衡、还清所有债务，不难想到，均与利润相关．从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润．（Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则．又由图可知：．124584060qp81所以，由已知，当时，，即，解得．即此时该店有50名职工．（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润．当时，求得时，S取最大值7800元．当时，求得时，S取最大值6900元．综上，当时，S有最大值7800元．设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有．解得．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．点评求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．例2．一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD的A处（如图），发现C处有一位溺水者．他跑到E处后，马上跳水沿直线EC游到C处，已知救生员跑步的速度为米／分，游泳的速度为米／分．试问，救生员选择在何处入水才能最快到达C处，所用的最短时间是多少？讲解：理解本题并不难：应该建立时间t（分）关于某个变量的函数关系式，然后，通过求最值的方法来解决问题．难点在于变量的选择，当然，我们可以选择以AE的长度x（米）作为变量，但此时，求最值较为困难．注意到：AE和EC的长度，可以方便的用角表示，不必用到根号，所以我们可以尝试EDCAB以作为变量．设，则，所以，等号当且仅当，即，即时成立．此时，，．也即，救生员应该在AB边上距B米处入水，才能最快到达C处，所用的最短时间为．点评（1）恰当选择变量，有助于简化数学过程；（2）本题中，若以为自变量，也可通过三角代换（或移项、平方、判别式等）来求得最值．例3．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：．注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解：（Ⅰ）当时，，所以，每天的盈利额．当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额综上，日...