第37题三角形中的不等问题I．题源探究·黄金母题【例1】海中一小岛，周围内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【解析】根据题意作出如图所示，其中设为岛所在位置，是该轮船航行前后的位置，过作于，根据题意知，在△ABC中，，，，∴=10°，∠CBD=30°，由正弦定理得，，∴=≈15．7560，∴≈7．878＞3．8，∴没有触礁的危险．答：没有触礁的危险．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第24页复习参考题A组第2题．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解与三角形有关的综合问题，是常考题型．【思路方法】根据题意画出图形，为岛所在位置，是该轮船航行前后的位置，过作于，根据题意知，在△ABC中，，，，要判断是否触礁，即需要计算C点到直线AB的距离CD，在△ABC中利用正弦定理计算出BC，在通过解直角三角形即可求出CD．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016年高考北京理数】在ABC中，．（1）求的大小；（2）求的最大值．【解析】（1）由余弦定理及题设得，【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能力，是中档题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学又 ，∴；（2）由（1）知，，因为，所以当时，取得最大值．【例3】【2016高考山东理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解析】由题意知，化简得，即．因为，所以．从而．由正弦定理得．由知，生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路，当且仅当时，等号成立．故的最小值为．【例4】【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．（1）证明：；（2）求的取值范围．【解析】（1）由及正弦定理，得，∴，即，又为钝角，因此，故，即．（2）由（1）知，，，∴，于是==， ，∴，因此，由此可知的取值范围是．III．理论基础·解题原理考点一三角形中的不等关系1．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2．任一角都大于00而小于1800，任意两角之和也是大于00而小于1800；33．．设角A是一三角形的内角，则；4．在锐角三角形中，任意两角之和也是大于900而小于1800；5．在同一三角形中大边对大角，大角对大边考点二与三角形有关的综合问题类型常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力．对这类问题要认证读题，利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件，利用正余弦定理，将问题转化为三角形的纯边或纯角的函数问题再利用基本不等式或函数求值域的方法处理之．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般中档题，考查综合运用正余弦定理及相关知识与方法解综合问题的能力．【技能方法】1．与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在中由．2．与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解．3．三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围．【易错指导】在求与三角性有关的最值（范围）问题时，常先利用正余弦定理将其化为角的三角函数，再利用三角形内角和定理消去角的个数，结合题中的条件和消去角的范围确定留下角的范围，利用三角函数图像与性质求解，最容易出现的错误①没有进一步确定留下角的范围；②在求最值时没有结合三角...
