课时分层训练(二十八)平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础达标一、选择题1．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．－B．0C.D．3A[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]2．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．－B．－3C.D．3C[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝.]3．(2018·海口调研)若向量a＝(2，－1)，b＝(3－x,2)，c＝(4，x)满足(6a－b)·c＝8，则x等于()A．4B．5C．6D．7D[因为6a－b＝(9＋x，－8)，所以(6a－b)·c＝36＋4x－8x＝8，解得x＝7，故选D.]4．已知O为坐标原点，向量OA＝(3sinα，cosα)，OB＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈，且OA⊥OB，则tanα的值为()【导学号：79140158】A．－B．－C．D．A[由题意知6sin2α＋cosα·(5sinα－4cosα)＝0，即6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tanα－4＝0，由于α∈，则tanα<0，解得tanα＝－，故选A.]5．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.D．－B[ n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.－2[ |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]7．(2018·合肥一检)若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．[由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则可得a·b＝，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cosθ＝＝.]8．已知向量a＝，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________.【导学号：79140159】1[由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA⊥OB，|OA|＝|OB|.由OA⊥OB得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由|OA|＝|OB|得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OB|＝|OA|＝，故S△OAB＝××＝1.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．[解]由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．10.如图432，已知O为坐标原点，向量OA＝(3cosx,3sinx)，OB＝(3cosx，sinx)，OC＝(，0)，x∈.图432(1)求证：(OA－OB)⊥OC；(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．[解](1)证明：OA－OB＝(0,2sinx)，∴(OA－OB)·OC＝0×＋2sinx×0＝0，∴(OA－OB)⊥OC.(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，∴(2sinx)2＝(3cosx－)2＋sin2x，整理得2cos2x－cosx＝0，解得cosx＝0，或cosx＝. x∈，∴cosx＝，x＝.B组能力提升11．(2018·广州综合测试(二))已知两点A(－1,1)，B(3,5)，点C在曲线y＝2x2上运动，则AB·AC的最小值为()A．2B．C．－2D．－D[设C(x0,2x)，因为AB＝(4,4)，AC＝(x0＋1,2x－1)，所以AB·AC＝8x＋4x0＝8－≥－，即AB·AC的最小值为－，故选D.]12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1B[法一：(解析法)(1)建立坐标系如图(1)所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．设P点的坐标为(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，∴PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.当且仅当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得...
