3.2导数的计算[课时作业][A组基础巩固]1．下列结论正确的是()A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝，则y′＝－D．若y＝，则y′＝解析：A项，y＝cosx，则y′＝－sinx；答案：C2．函数y＝x3·ax的导数是()A．(3＋xlna)x2axB．(3＋lna)x3axC．(3＋lna)xaxD．(3＋lna)ax解析：∵y＝x3·ax，∴y′＝(x3·ax)′＝(x3)′ax＋x3(ax)′＝3x2ax＋x3·axlna＝(3＋xlna)x2ax.选A.答案：A3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.答案：B4．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为()A．－2B．2C.D．1解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x0－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.答案：D5．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(1)＝()A．24B．－24C．10D．－10解析：∵f′(x)＝(x－1)′(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′∴f′(1)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24.答案：A6．曲线y＝在点Q(16,8)处的切线的斜率是________．17．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′＝πa＋＝，得a＝0.答案：0－18．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．解析：y′＝ex，曲线在点(0,1)处的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，由题意知k1k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即点P的坐标为(1,1).答案：(1,1)9．求导．y＝(x＋1)2(x－1)．解析：法一y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.法二y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.10．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．解析：由f(x)＝a·ex＋blnx，∴f′(x)＝a·ex＋，根据题意应有解得所以a，b的值分别是1,0.[B组能力提升]1．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0B.C．1D.解析：f′(x)＝excosx－exsinx，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1，∴切线的倾斜角为.答案：B2．若曲线y＝x2＋alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为()A．(1,1)B．(2,3)C．(3,1)D．(1,4)解析：y＝x2＋alnx的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．答案：A3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx则f′(e)＝________.解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，2∴f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝－.答案：－4．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．解析：由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3.答案：35．求曲线y＝在点(2，)处的切线方程．解析：∵y＝，∴y′＝＝.∴y′|x＝2＝＝－.因此曲线y＝在点(2，)处的切线方程为y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.6．求满足下列条件的函数f(x)：(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.解析：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f(0)＝3，得d＝3.由f′(0)＝0，得c＝0.由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组解得所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)、f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使对任意x方程都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.3
