3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底.当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此pq,qp.⇒故选B.2.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是(D)(A)向量的坐标与点B的坐标相同(B)向量的坐标与点A的坐标相同(C)向量与向量的坐标相同(D)向量与向量-的坐标相同解析:因为A点不一定为坐标原点,所以A不正确;同理B,C都不正确;由于=-,故选D.3.有以下三个命题:①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;③若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.其中真命题的个数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知a,b,c共面,故③为假命题.选C.4.若向量{a,b,c}是空间的一个基底,则一定可以与向量p=2a+b,q=2a-b构成空间的另一个基底的向量是(C)(A)a(B)b(C)c(D)a+b解析:因为p=2a+b,q=2a-b,所以a=p+q,所以a,p,q共面,故a,p,q不能构成空间的一个基底,1排除A;因为b=p-q,所以b,p,q共面,故b,p,q不能构成空间的一个基底,排除B;因为a+b=p-q,所以a+b,p,q共面,故a+b,p,q不能构成空间的一个基底,排除D;故选C.5.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(D)(A)-a+b+c(B)a-b+c(C)a+b+c(D)a+b-c解析:=+=++=+-=a+b-c.故选D.6.已知平行六面体OABCO′A′B′C′,=a,=c,=b,D是四边形OABC的对角线的交点,则(D)(A)=-a+b+c(B)=-b-a-c(C)=a-b-c(D)=a-b+c解析:=+=-+(+)=-+=a-b+c.故选D.7.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则等于(B)(A)a-b+c2(B)-a+b+c(C)a+b-c(D)a+b-c解析:连接ON(图略),=-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c.故选B.8.若向量i,j,k为空间直角坐标系上对应x轴,y轴,z轴上的单位向量,且设a=2i-j+3k,则向量a的坐标为.解析:因为a=2i-j+3k,由空间向量的坐标表示可知,坐标(2,-1,3)与向量a=2i-j+3k对应,故向量a的坐标为(2,-1,3).答案:(2,-1,3)9.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x=,y=.解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+2λc,于是有解得答案:2-210.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则=(用a,b,c表示).解析:取BC中点为F,连EF,AF,则EFBB1,3又ADBB1,所以EFAD,所以四边形ADEF为平行四边形,所以DEAF,所以==(+)=a+b.答案:a+b11.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条件是.解析:若x≠0,则a=-b-c,即a与b,c共面.由{a,b,c}是空间的一个基底知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=0.答案:x=y=z=012.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.(1)用向量a,b,c表示,;(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.解:(1)如图,=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)4=(a-c).(2)=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,所以x=,y=-,z=-1.13.如图,已知正四面体ABCD的棱长为a,试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标.解:建系不同,所得各点的坐标也不同.如图,过A作AG垂直于平面BCD,由于AB=AC=AD,所以G为△BCD的中心,过G作GF∥CD,E为CD的中点,以G为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为△BCD的边长为a,所以BE=a,GE=a.又BG=a,所以AG==a,所以A(0,0,a),B(0,-a,0),C(,a,0),D(-,a,0).514.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量的坐标;(2)求证:EF∥BD1.解:(1)因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,根据题意知{,,}为单位正交基底,设=i,=j,=k,所以向量可用单位正交基底{i,j,k}表示,因为=++,与共线,与共线,所以设=λ,=μ,则=λ++μ=λ(+)++μ(-)=(λ+μ)+(1-μ)+λ=(λ+μ)i+(1-μ)j+λk,因为EF⊥A1D,EF⊥AC,即⊥,⊥,所以·=0,·=0,又=-i-k,=-i+j,所以整理得即...
