考点6.2平面向量基本定理及坐标表示考点梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若OA＝xOB＋yOC，写出x，y的关系式．提示x＋y＝1.真题演练1．（2017•全国）设向量，，则和的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设和的夹角为，，，向量，，，，，故选C．2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为（）A．3B．C．D．2【答案】A【解析】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，，圆的方程为，设点的坐标为，，，，，，，，，，，其中，，，故的最大值为3，故选A．3．（2020•新课标Ⅰ）设向量，，若，则__________．【答案】5【解析】向量，，若，则，则，故答案为：5．4．（2020•江苏）在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是__________．【答案】0或【解析】如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．当时，，此时与重合，；当时，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，．即，，．的长度是0或．故答案为：0或．5．（2019•全国）已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】；；．故答案为：．6．（2019•新课标Ⅲ）已知向量，，则，__________．【答案】【解析】，，，，．故答案为：．7．（2019•浙江）已知正方形的边长为1．当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值是__________，最大值是__________．【答案】0，【解析】正方形的边长为1，可得，，，，由于，2，3，4，5，取遍，可得，，可取，，，，可得所求最小值为0；由，的最大值为4，可取，，，，，可得所求最大值为．故答案为：0，．8．（2019•北京）已知向量，，且，则__________．【答案】8【解析】由向量，，且，得，．故答案为：8．9．（2018•新课标Ⅲ）已知向量，，．若，则__________．【答案】【解析】向量，，，，，，解得．故答案为：．10．（2018•北京）设向量，．若，则__________．【答案】【解析】向量，．．，，解得．故答案为：．11．（2017•北京）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为__________．【答案】【解析】设，，．则，当且仅当时取等号．故答案为：6．12．（2017•山东）已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】，，解得．故答案为：．13．（2017•新课标Ⅲ）已知向量，，且，则__________．【答案】2【解析】向量，，且，，解得．故答案为：2．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，，若向量与垂直，则__________．【答案】7【解析】向量，，，向量与垂直，，解得．故答案为：7．15．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则__________．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．．由与的夹角为，且．，．．．．．，，，解得，．则．故答案为：3．强化训练1．（2020•咸阳模拟）已...
