高中数学 考点32 直线、平面垂直的判定及其性质（含高考试题）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点32直线、平面垂直的判定及其性质一、简答题1.(2017·北京高考文科·T18)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD.(2)求证:平面BDE⊥平面PAC.(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【命题意图】本题主要考查空间几何体的位置关系与夹角运算,意在培养学生的空间想象能力及运算能力.【解析】(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,由(1)知PA⊥平面ABC,因为PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC,因为平面PAC∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,又DE=平面BDE∩平面PAC,因为PA⊂平面PAC,所以PA∥DE,因为D是AC中点,所以E为PC的中点,所以DE=1,所以S△BDC=S△ABC=××2×2=1,VE-BCD=×1×DE=×1×1=.2.(2017·天津高考文科·T17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.(2)求证:PD⊥平面PBC.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【命题意图】本题考查异面直线所成角、线面垂直、线面角等基础知识.考查空间想象能力,运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1)因为AD∥BC,所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角,因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,在Rt△PDA中,AP==,所以,cos∠DAP==,所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,又因为AD∥BC,PD⊥BC,又PD⊥PB,BC∩PB=B,所以PD⊥平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得DF==2.在Rt△DPF中,sin∠DFP==.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.3.(2017·山东高考文科·T18)由四棱柱ABCD􀆼A1B1C1D1截去三棱锥C1􀆼B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,(1)证明:A1O∥平面B1CD1.(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.【命题意图】本题考查空间中线、面平行与垂直的判定与性质,意在考查考生的空间想象能力,转化与化归能力.【证明】(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C,又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.(2017·全国甲卷文·T18)(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD.(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.【命题意图】面面垂直的性质,线面平行的判定定理以及几何体的体积,意在考查学生的逻辑推理能力和运算能力.【解析】(1)在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM,由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°,得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD,因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥平面ABCD,因为CM⊂平面ABCD,所以PM⊥CM,设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x,取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=x,因为△PCD的面积为2,所以×x×x=2,解得x=-2(舍去),x=2,于是AB=BC=2,AD=4,PM=2,所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4.