第1课基本不等式【考点导读】1.能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2.能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.的最小值为3.已知下列四个结论①当；②；③的最小值为2；④当无最大值。则其中正确的个数为1个4.已知，且，则的最大值为5.已知，则的最小值是2【范例导析】【例1】（1）已知，求函数的最大值.（2）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．分析：问题（1）中由于，所以首先要调整符号；问题（2）中要注意利用基本不等式时等号成立条件.解：（1） ∴∴y=4x-2+=≤-2+3=1当且仅当，即x=1时，上式成立，故当x=1时，.（2）求的最大值解:(若由无解“=”不成立)1令,可以证明y(u)在递减∴u=2,即x=0时,ymax=3点拨：在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等”.凑出定值是关键!“=”成立必须保证,若两次连用均值不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且，求x+y的最小值。（2）已知，且，求的最大值．分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.解:(1)法一：直接利用基本不等式：≥当且仅当，即时等号成立法二：由得 x>0，y>0，a>0∴由>0得y-b>0∴x+y≥当且仅当，即时，等号成立（2）法一：由，可得，．2注意到．可得，．当且仅当，即时等号成立，代入中得，故的最大值为18．法二：，，代入中得：解此不等式得．下面解法见解法一，下略．点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.例3设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？分析：首先建立函数模型，再通过基本不等式求其最值，注意等号取得的条件.解：设画面的高为，宽为，则，设纸张面积为，则有，当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.如果，则上述等号不能成立.现证函数S(λ)在上单调递增.设,则因为，又，所以，故在上单调递增,因此对，当时，3取得最小值.点拨:用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.反馈练习：1.如果正数满足，那么（A）Ａ．，且等号成立时的取值唯一Ｂ．，且等号成立时的取值唯一Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一2.函数在上（D）A.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最小值-1D.有最大值-1，无最小值-13.设a＞1,且,则的大小关系为m＞p＞n4.已知下列四个结论：①若则；②若,则；③若则；④若则。其中正确的是④5.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为66.若a是正实数，2a2+3b2=10，则的最大值等于7.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为4．8.若x，y是正数，则的最小值是49.若a、b、c为正实数，且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为10.（1）已知：，且：，求证：，并且求等号成立的条件．（2）设实数x，y满足y+x2=0，0
