3.2.2抛物线的简单性质[A.基础达标]1．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于()A.B.C.D．1解析：选B.由消去y整理得ax2－x＋1＝0，由题意a≠0，Δ＝(－1)2－4a＝0.所以a＝.2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.B.C．－D．－解析：选D.由得或令B(1，－2)，A(4，4)，又F(1，0)，所以由两点间距离公式，得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3，所以cos∠AFB＝＝＝－.3．A，B是抛物线x2＝y上任意两点(非原点)，当OA·OB最小时，OA，OB所在两条直线的斜率之积kOA·kOB＝()A.B．－C.D．－解析：选B.由题意可设A(x1，x)，B(x2，x)，OA＝(x1，x)，OB＝(x2，x)，OA·OB＝x1x2＋(x1x2)2＝(x1x2＋)2－≥－，当且仅当x1x2＝－时OA·OB取得最小值．此时kOA·kOB＝·＝x1x2＝－.4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x解析：选C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.由y2＝2px，F(，0)，所以N点的坐标为(，)．由抛物线的定义知，x0＋＝5，所以x0＝5－.所以y0＝.所以|AN|＝＝，所以|AN|2＝.所以()2＋(－2)2＝.即＋＝.所以－2＝0.整理得p2－10p＋16＝0.解得p＝2或p＝8.所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.5．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－)∪(，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)解析：选D.当AB的斜率不存在时，x＝0，其与x2＝y有公共点，不满足要求；当AB的斜率存在时，可设AB所在直线的方程为y＝kx－1，代入x2＝y，整理得2x2－kx＋1＝0，Δ＝(－k)2－4×2<0，得k2<8，B(t，3)在y＝kx－1上即3＝kt－1，()2＝k2<8，即t2>2得t∈(－∞，－)∪(，＋∞)．6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于________．解析：如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，1所以∠AFA1＝∠A1FO，同理∠BFB1＝∠B1FO，于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.答案：90°7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________．解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可写为y＝kx＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0，x1＋x2＝4k，由y＝kx＋1可得y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋4，故所截弦长＝2＝2≥2，当k＝0时弦长取最小值．答案：28．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为________．解析：如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过点A、B、M分别作AA′、BB′、MM′垂直于l，垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所以dmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.答案：19．已知抛物线y2＝12x和点P(5，2)，直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．(1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△OAB的面积．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A、B在抛物线上，所以y＝12x1，y＝12x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝12(x1－x2)．因为P为线段AB的中点，所以x1≠x2，又y1＋y2＝4，所以k＝＝＝3，所以直线l的方程为y－2＝3(x－5)，即3x－y－13＝0.经验证适合题意．(2)由题意知l的方程为y－2＝1·(x－5)即y＝x－3.由得x2－18x＋9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18，x1x2＝9.所以|AB|＝＝·＝24.又点O到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以S△OAB＝|AB|·d＝×24×＝18.10．如图，设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中x0≠0)，过P点的切线交y...
