2017年春高二年期中考试理科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（每题5分，共60分）1．i是虚数单位，52ii=……………………………………………………（）A．1+2iB．-1-2iC．1-2iD．-1+2i2．设，则等于…………………………（）ABCD不存在3.设，则……………………………………………………（）A．B．C．D．4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为……………………（）A．B．C．D．5.函数xexxf)3()(的单调递增区间是…………………………………（）A.)2,(B．(0,3)C．(1,4)D.),2(6.对于上可导的任意函数，若满足，则必有…………（）A.B.C.D.7．若函数321(02)3xyxx的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是…………………………………………………………………（）1…①②③A.4B.6C.56D.348.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位…………………………………………………（）A85B56C49D289．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的…………………………………………（）A．B．C．D．10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是……………………………………………（）A.36B.42C.48D.6011．已知函数2()log(2)2xfxax，若()fx存在零点，则实数a的取值范围是……………………………………………………………………………（）A.[4,)B.[1,)C.[2,)D.(,4][4,)12.在上的可导函数，极大值点，极小值点，则的取值范围是……………………………………………（）A．B．C．D．二、填空题:（每小题5分，共20分）13.=14．曲线在点处的切线方程为15．已知复数，是z的共轭复数，则=16．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，22的卡片放入同一信封，则不同的方法共有三．解答题（6题共70分）17、（10分）已知曲线与.求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S.18、（10分）已知且，求证：中至少有一个小于2.19、（10分）已知函数，求此函数的3（1）单调区间；（2）值域.20、（13分）用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>(n≥2)．21、（13分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元。（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小值时的.422、（14分）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：52017年春高二年期中考试理科数学试卷（答案）题号123456789101112答案DCACDADCDCAC13.414.15.16.1817.18.(略)19.（1）增区间：，减区间（2）值域：20.[证明]①当n＝2时，左＝>0＝右，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即＋＋…＋>成立．那么n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋…＋>＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝，∴当n＝k＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．21.（1）设容器的容积为，由题意知，又，故由于，因此所以建造费用因此（2）由（1）得，由于，所以，当时，6令，则所以①当即时，当时，当时，当时，所以是函数的极小值点，也是最小值点.②当即时当时，，函数单调递减，所以，是函数的最小值点.综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时。22．（I）令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；7（II）由（I），设，则⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减。故．8
