专题研究2正、余弦定理应用举例1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2017·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m答案A解析由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50(m)．故选A.3．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．1米答案C解析如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米答案C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.5.(2017·湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．5B．15C．5D．15答案D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.6．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.mB.m1C.mD.m答案A解析如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝＝. ∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中，＝.∴DC＝＝＝(m)．7．(2018·广东佛山二模)某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝(40＋30)nmile，CD＝250nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从城市A出发以50nmile/h的速度向城市D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sinθ＝________．答案解析设轮船行驶至F时收到指令，则AF＝50nmile.连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，则AE＝ABsin60°＝40(nmile)，BE＝ABcos60°＝40(nmile)，CE＝BC－BE＝30(nmile)，AC＝＝50(nmile)，所以cos∠ACE＝，sin∠ACE＝，所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝－×＋×＝＝，所以∠CAD＝90°.因为AF＝50nmile，AC＝50nmile，可得∠AFC＝60°，所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sinθ＝.8．要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．答案40米解析如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(＝1.732，＝1.414)答案(1)7米(2)小李的设计建造费用低，86600元解析(1)在△ABC中...
