第10节导数的概念及计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,3,13导数的几何意义4,5,7,8,9,11导数运算及几何意义综合6,10,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·黑龙江省伊春市期中)函数y=的导数为(D)(A)(B)(C)-(D)解析:因为y=,所以y′==.故选D.2.函数y=ln(2x2+1)的导数是(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为y=ln(2x2+1),所以y′=·(2x2+1)′=.故选B.3.(2017·山西怀仁县期中)已知f(x)=x2+3xf′(1),则f′(2)等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:f′(x)=2x+3f′(1),令x=1,得f′(1)=2+3f′(1),f′(1)=-1,所以f′(x)=2x-3.所以f′(2)=1.故选A.4.(2017·湖南怀化一模)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于(A)1(A)2(B)1(C)(D)0解析:根据图象知,点P为切点,f(5)=-5+8=3,f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率,所以f′(5)=-1,所以f(5)+f′(5)=2.故选A.5.函数f(x)=exlnx在x=1处的切线方程是(C)(A)y=2e(x-1)(B)y=ex-1(C)y=e(x-1)(D)y=x-e解析:函数f(x)=exlnx的导数为f′(x)=exlnx+ex·,所以切线的斜率k=f′(1)=e,令f(x)=exlnx中x=1,得f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),所以切线方程为y-0=e(x-1),即y=e(x-1).故选C.6.(2017·湖南邵阳二模)已知a>0,曲线f(x)=2ax2-在点(1,f(1))处的切线的斜率为k,则当k取最小值时a的值为(A)(A)(B)(C)1(D)2解析:f(x)=2ax2-的导数为f′(x)=4ax+,可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=4a+,由a>0,可得4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时,k取最小值.故选A.7.导学号38486054(2017·河南许昌二模)已知函数y=x+1+lnx在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax2+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为(D)(A)12(B)8(C)0(D)4解析:y=x+1+lnx的导数为y′=1+,曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,得ax2+ax+1=0,又a≠0,两线相切有一切点,2所以有Δ=a2-4a=0,解得a=4.故选D.8.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:19.(2017·云南一模)已知函数f(x)=axlnx+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b=.解析:f(x)=axlnx+b的导数为f′(x)=a(1+lnx),由f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,易知f(1)=2,即b=2,f′(1)=2,即a=2,则a+b=4.答案:4能力提升(时间:15分钟)10.导学号38486055已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2xf′(2),则函数f(x)的解析式为(B)(A)f(x)=x2+8x(B)f(x)=x2-8x(C)f(x)=x2+2x(D)f(x)=x2-2x解析:因为f(x)=x2+2xf′(2),所以f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=2×2+2f′(2),解得f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x,故选B.11.(2017·广州一模)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(D)(A)(0,0)(B)(1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax,因为函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,解得x0=±1.当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.12.(2017·甘肃二模)曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为(A)3(A)(B)2(C)3(D)2解析:设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x-y+m=0.设切点为P(x0,y0),因为y′=,所以斜率=2,解得x0=1,因此y0=2ln1=0.所以切点为P(1,0).则点P到直线2x-y+3=0的距离d==.所以曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.故选A.13.(2017·天津一模)已知函数f(x)=,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为.解析:f′(x)==,所以f′(0)==2.答案:214.已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,则切线方程为.解析:f′(x)=,g′(x)=(x>0),由已知得解得a=,x=e2.所以两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f′(e2)=,所以切线的方程为y-e=(x-e2),即y=x+.答案:y=x+15.(2017·沈阳一模)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为.解析:因为函数y=ex与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,函数y=ex上的点P(x,ex)到直线y=x的距离为d=,设g(x)=ex-x(x>0),则g′(x)=ex-1,由g′(x)=ex-1≥0,可得x≥ln2,由g′(x)=ex-1<0可得0
